ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ
ΑΡΧΑΙΚΗ ΕΠΟΧΗ: 7ος - 6ος αιώνας π.Χ.
1. ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ (640/624-546 π.Χ.)
Είναι ο αρχαιότερος προσωκρατικός φιλόσοφος, ο πρώτος των επτά σοφών της αρχαιότητας, μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος και ιδρυτής της Ιωνικής Σχολής της φυσικής φιλοσοφίας στην Μίλητο. Ο Θαλής αναφέρεται ως σπουδαίος γεωμέτρης. Γνωστό είναι το Θεώρημα του Θαλή που αναφέρει: Όταν δύο τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζουν στην μία ευθεία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης ευθείας.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ»
Θεώρημα Θαλή:
Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα.
Αν είναι ε1//ε2//ε3
τότε:
Aντίστροφο θεωρήματος Θαλή:
Θεωρούμε δύο ευθείες ε και ε’ που τέμνουν δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 στα σημεία Α, Β και Α’, Β’ αντίστοιχα. Αν Γ και Γ’ είναι σημεία των ευθειών ε και ε’ αντίστοιχα τέτοια ώστε
τότε:
η ευθεία ΓΓ’ είναι παράλληλη προς τις ε1 και ε2.
Άμεση συνέπεια του θεωρήματος:
Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη με μία από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο άλλες πλευρές σε μέρη ανάλογα και αντίστροφα
Αν ΚΛ//ΒΓ τότε:
Και αν
τότε ΚΛ//ΒΓ
Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου.
«ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ»
Αρχαίο κείμενο:
(Α.) «Διάμετρος δε του κύκλου εστίν ευθεία τις δια του κέντρου ηγμένη και περατουμένη εφ’ εκάτερα τα μέρη υπό της του κύκλου περιφερειας, ήτις και δίχα τέμνει τον κύκλο.»
Μετάφραση:
Διάμετρος του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, τα άκρα του είναι στην περιφέρεια του κύκλου και διαιρεί τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη.
(Β.) Η γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο, είναι ορθή (γνωρίζοντας ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 2 ορθές).
Αρχαίο κείμενο
(Γ.) «Τωι μεν ουν Θαλήι τωι παλαιώι πολλών τε άλλων ευρέσεως ένεκα και τούδε του θεωρήματος χάρις. Λέγεται γαρ δη, πρώτος εκείνος επιστήσαι και ειπείν, ως αρα παντός ισοσκελούς αι προς τηι βάσει γωνίαι ίσαι εισίν».
Μετάφραση:
Οι παρά την βάσει γωνίες, ισοσκελούς τριγώνου, είναι ίσες.
(Δ.) Δύο τρίγωνα, με μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες, σε αυτήν, γωνίες ίσες μία προς μία, είναι ίσα (Έτσι υπολόγισε την απόσταση πλοίου από λιμάνι, τεχνική που χρησιμοποίησαν αργότερα και οι Ρωμαίοι).
Αρχαίο κείμενο:
(Ε.) «καὶ ἐκμετρῆσαί φησιν αὐτὸν τὰς πυραμίδας ἐκ τῆς σκιᾶς, παρατηρήσαντα ὅτε ἡμῖν ἰσομεγέθεις εἰσίν»
Μετάφραση:
Τα ισογώνια (όμοια) τρίγωνα, έχουν πλευρές ανάλογες: έτσι, χρησιμοποιώντας το μήκος και την σκιά ενός ραβδιού, υπολόγισε το ύψος της Μεγάλης Πυραμίδας της Αιγύπτου, (προκαλώντας, όπως λέει ο Πλούταρχος, τον θαυμασμό του Φαραώ Άμασι).
2. ΑΝΑΞΙΜΑΝΔΡΟΣ (610-547 π.Χ.)
Ήταν ο δεύτερος από τους φυσικούς φιλόσοφους ή φυσιολόγους της Ιωνίας, πολίτης της Μιλήτου, όπως ο Θαλής, του οποίου άλλωστε υπήρξε μαθητής, σύντροφος και διάδοχος του στην Σχολή της Ιωνίας. Λίγα είναι γνωστά για την ζωή και το έργο του. Οι πηγές τον αναφέρουν ενίοτε ως επιτυχημένο σπουδαστή της Αστρονομίας και της Γεωγραφίας και πρώιμο υπέρμαχο της ακριβούς επιστήμης. Λέγεται επίσης, ότι εισήγαγε την χρήση του γνώμονα στην αρχαία Ελλάδα και ότι κατασκεύασε χάρτη του γνωστού τότε κόσμου.
3. ΙΠΠΑΣΟΣ (6ος-5ος αιώνας π.Χ.)
Ήταν αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρειος φιλόσοφος, μαθηματικός και φυσικός. Η ακμή του τοποθετείται στα πρώτα 40 χρόνια του 5ου αιώνα π.Χ. και θεωρείται από τους αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα. Ήταν ο ιδρυτής του «μαθηματικού τμήματος» της Πυθαγόρειας Σχολής. Ο Ίππασος φέρεται να έχει ανακαλύψει το ότι η τετραγωνική ρίζα του δύο, ή καλύτερα η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά 1, είναι άρρητος αριθμός.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΑΣΥΜΜΕΤΡΟΣ / ΑΡΡΗΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ»
Η απόδειξη του Ίππασου αναφέρεται από τον Αριστοτέλη ως χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης της «προς άτομο απαγωγής».
Υπέθεσε ότι ο a/b είναι ρητός αριθμός με την ιδιότητα a2/b2=2. Οι αριθμοί a και b είναι πρώτοι μεταξύ τους, γιατί πολύ απλά αν είχαν κοινό διαιρέτη τότε αυτός θα απλοποιούταν από το κλάσμα (πχ. Το 4/12 γράφεται ως 1/3) Οπότε καταλήγουμε στην σχέση a2=2b2.
Συνεπώς το a, επειδή έχει άρτιο τετράγωνο, είναι άρτιος αριθμός. Αρα, a = 2m και από αυτό έπειται ότι 4m2= b2. Αρα b2= 2m2. Άρα ο b είναι άρτιος, όπως και ο a.
Από την στιγμή που ισχύει ότι a και b είναι άρτιοι όμως, έχουν κοινό διαιρέτη το 2. Αυτό είναι άτοπο, αφού η υπόθεση λέει το αντίθετο. Άρα η ρίζα 2 δεν μπορεί να είναι ρητός!
4. ΑΝΑΞΙΜΕΝΗΣ (585-528 π.Χ.)
Ήταν αρχαίος Έλληνας προσωκρατικός φιλόσοφος. Ένας από τους τρεις Μιλήσιους φιλοσόφους (τον Θαλή και τον Αναξίμανδρο) αναγνωρίζεται ως μαθητής του Αναξιμάνδρου. Ο Αναξιμένης, όπως και οι υπόλοιποι της Σχολής της Ιωνίας, ήταν υποστηρικτής του υλιστικού μονισμού. Η έρευνά του θεωρείται πρόδρομος της φυσικής επιστήμης, αφού εισήγαγε πολλά φυσικά φαινόμενα και στοιχεία στην φιλοσοφία του. Για τον βίο και τις δραστηριότητες του Αναξιμένoυς γνωρίζουμε ελάχιστα πράγματα. Ήταν γιος του Ευρύστρατου και πέθανε πιθανώς σε ηλικία 60 χρονών κατά την 63η Ολυμπιάδα (528-525 π.Χ.). Οι περισσότερες πληροφορίες για την ζωή και το έργο του βασίζονται στον Θεόφραστο, που διασώζεται περιληπτικά από τον Σιμπλίκιο. Αποσπάσματα της φιλοσοφίας του βρίσκονται σε κείμενα του Αριστοτέλη, του Πλούταρχου, του Ιππόλυτου και του Αέτιου.
5. ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (580-490 π.Χ.)
Ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός. Επίσης, επηρέασε σημαντικά την φιλοσοφία και την θρησκευτική διδασκαλία στα τέλη του 6ο αιώνα π.Χ., συχνά αναφέρεται ως σπουδαίος μαθηματικός και επιστήμονας και είναι γνωστός για το Πυθαγόρειο Θεώρημα που έχει το όνομά του.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΑΡΤΙΟΣ & ΠΕΡΙΤΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ»
Ορισμοί:
Α. Άρτιος αριθμός είναι ο αριθμός, ο οποίος διαιρείται σε δύο ίσα μέρη και μπορεί να διαιρεθεί σε δύο άνισα μέρη, εκτός βέβαια από την θεμελιώδη δυάδα, η οποία διαιρείται μόνο σε 2 ίσα μέρη.
Β. Περιττός αριθμός είναι ο αριθμός, ο οποίος διαιρείται μόνο σε δύο άνισα μέρη, τα οποία είναι πάντα διαφορετικού είδους, το ένα άρτιο και το άλλο περιττό, και διαφέρει από άρτιο αριθμό κατά μία μονάδα. Σε αντίθεση με τους άρτιους αριθμούς, των οποίων τα μέρη πρέπει να είναι πάντα του ίδιου είδους.
«ΠΕΡΙ ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ»
1. Τέλειος θεωρείται ένας αριθμός που ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του εκτός από τον ίδιο.
2. Φίλιοι ονομάζονται δύο αριθμοί, όταν ο καθένας τους είναι το άθροισμα των διαιρετών του άλλου εκτός από τον ίδιο των αριθμό.
3. Ισοϋπόλοιποι ονομάζονται δύο αριθμοί ως προς τον μ όταν εμφανίζουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι δια του μ.
4. Ελλιπής ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου το άθροισμα των παραγόντων του είναι μικρότερο του αριθμού.
5. Υπερτελής ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου το άθροισμα τωνπαραγόντων του είναι μεγαλύτερο του αριθμού.
6. Αρτιάκις άρτιος ονομάζεται ο αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη και καθένα από τα μέρη αυτά είναι διαιρετό σε δύο ίσα μέρη και πάλι σε δύο ίσα μέρη μέχρι η διαίρεση των διαδοχικών υποδιαιρέσεων να φτάσει την αδιαίρετη μονάδα.
7. Περιττάκις περιττός ονομάζεται κάθε περιττός αριθμός που δεν είναι πρώτος.
8. Αρτιοπέριττος ονομάζεται ένας αριθμός που είναι άρτιος αλλά βρίσκεται σε αντιδιαστολή με τον αρτιάκις άρτιο γιατί επιδέχεται όπως και κάθε άρτιος την διαίρεση σε δύο ίσα μέρη αλλά τα δύο αυτά μισά δεν διαιρούνται σε δύο ίσα μέρη. Είναι δηλαδή οι αριθμοί της μορφής 2*(2ν+1).
9. Περισσάρτιος ονομάζεται ένας αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη, τα οποία επίσης μπορούν να διαιρεθούν σε δύο ίσα μέρη και αυτή η διαδικασία να συνεχίζεται μέχρι ένα σημείο πριν μπορέσουμε και φτάσουμε στην μονάδα.
10. Πρώτος και ασύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός όταν είναι περιττός και δεν δέχεται άλλη διαίρεση εκτός από τον εαυτό του και την μονάδα .Ή σύμφωνα με τον Ευκλείδη49 πρώτος είναι ένας αριθμός ο οποίος μπορεί να μετρηθεί μόνο από τη μονάδα.
11. Δεύτερος και σύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός όταν δεν είναι πρώτος ή εναλλακτικά όταν μπορεί να μετρηθεί από κάποιον αριθμό εκτός της μονάδας.
12. Πρώτοι προς αλλήλους ονομάζονται δύο αριθμοί όταν και οι δύο είναι δεύτεροι και σύνθετοι αλλά μεταξύ τους δεν έχουν κανένα κοινό μέτρο.
«ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
Αρχαίο κείμενο:
«Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».
Μετάφραση:
«Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του».
( γ2 + β2 = α2 )
(όπου α = το μήκος της υποτείνουσας και β και γ = τα μήκη των δυο άλλων πλευρών)
«ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ / ΑΒΑΚΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ»
«Είναι ο πίνακας που δίνει τα γινόμενα των δέκα πρώτων ακέραιων αριθμών».
«ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ»
“Ο λόγος του μικρότερου τμήματος προς το μεγαλύτερο, ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου προς το σύνολο.”
Έστω ότι ΑΓ & ΒΓ τότε ΑΒ/ΑΓ=ΑΓ/ΒΓ. Το σημείο τομής Γ δίνει την χρυσή αναλογία γιατί ο λόγος των ΑΒ/ΑΓ και ΑΓ/ΒΓ δίνει αποτέλεσμα 1.618 που είναι και ο χρυσός αριθμός φ. Ο αριθμός αυτός φανερώνει την αρμονία που διακατέχει ένα αντικείμενο το οποίο εξετάζεται.
ΚΛΑΣΙΚΗ ΕΠΟΧΗ: 5ος - 4ος αιώνας π.Χ.
6. ΑΝΑΞΑΓΟΡΑΣ (500-428 π.Χ.)
Ήταν σπουδαίος αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και αστρονόμος. Γεννήθηκε στις Κλαζομενές της Ιωνίας. Ήταν γιος του Ηγησίβουλου ή Εύβουλου και ανήκε σε πλούσιο και αριστοκρατικό γένος. Γενικά ο Αναξαγόρας προσπάθησε να ανανεώσει την ιωνική φυσιολογία και να την συνδυάσει με τις πνευματικές κατακτήσεις του Παρμενίδη και του Εμπεδοκλή. Στην βάση του στοχασμού του φιλόσοφου Αναξαγόρα βρίσκεται η άρνηση της γένεσης και της φθοράς, καθώς «...τίποτα δεν γίνεται ούτε χάνεται, αλλά συντίθεται και διαχωρίζεται από προϋπάρχοντα όντα». Δυστυχώς κανένα έργο του Αναξίμανδρου δεν σώζεται ακέραιο.
7. ΖΗΝΩΝ Ο ΕΛΕΑΤΗΣ (490-430 π.Χ.)
Ήταν ένας από τους αρχαίους Έλληνες προσωκρατικούς φιλοσόφους στην Κάτω Ιταλία και μέλος της Ελεατικής σχολής, που ίδρυσε ο Παρμενίδης. Ο Αριστοτέλης τον αποκαλούσε εφευρέτη της διαλεκτικής μεθόδου. Ο Ζήνων αφιέρωσε όλη την ενέργειά του για να επεξηγήσει και να εξελίξει το φιλοσοφικό σύστημα του Παρμενίδη. Ο Πλάτωνας αναφέρει πως ο Ζήνων ήταν 25 χρόνια νεότερος του Παρμενίδη, και έγραψε την υπεράσπιση του φιλοσοφικού του συστήματος σε πολύ νεαρή ηλικία. Αν και έχουν σωθεί ελάχιστα από τα γραπτά του, τα περισσότερα που γνωρίζουμε για αυτόν προέρχονται από τον Αριστοτέλη στα Φυσικά, βιβλίο 6, κεφάλαιο 9. Ο Παρμενίδης δίδασκε πως ο κόσμος των αισθήσεων είναι μια ψευδαίσθηση επειδή αποτελείται από κίνηση (ή αλλαγή) και πολλαπλότητα. Το Πραγματικό Όν είναι απολύτως ένα και δεν υπάρχει πολλαπλότητα σε αυτό. Είναι στατικό και αμετάβλητο. Η κοινή λογική λέει πως υπάρχει και κίνηση και πολλαπλότητα. Αυτή είναι και η Πυθαγόρεια αντίληψη της πραγματικότητας ενάντια στην οποία επιχειρηματολογούσε ο Ζήνωνας. Ο Ζήνων έδειξε πως η κοινή αντίληψη της πραγματικότητας οδηγεί σε παράδοξα και οξύμωρα.
8. ΙΠΠΙΑΣ Ο ΗΛΕΙΟΣ (485-415 π.Χ.)
Ήταν σοφιστής των χρόνων του Σωκράτη, σύγχρονος του Πρωταγόρα που δίδαξε στην Αθήνα. Έργα του, "Τρωικός λόγος", "Ολυμπιονικών αναγραφή" και "Εθνών ονομασίες". Ο Ιππίας ασχολήθηκε επίσης με την αστρονομία και τα μαθηματικά. Στον Ιππία αποδίδεται η λύση της διαίρεσης μιας γωνίας σε αυθαίρετο αριθμό ίσων μεταξύ τους γωνιών. Ο σοφιστής Ιππίας έδειξε πως το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με την χρήση μιας καμπύλης γραμμής, της επονομαζόμενης τετραγωνίζουσας που φέρει το όνομα του Ιππία (και του Δεινοστράτου επίσης). Μέσω της τετραγωνίζουσας, μπορεί να τετραγωνίσει κανείς και τον κύκλο.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΚΑΜΠΥΛΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ – ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ»
Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ (όπως στο σχήμα). Αν θεωρήσουμε ότι με ίση ταχύτητα:
(i). η πλευρά ΑΒ περιστραφεί με κέντρο το Α μέχρι να συμπέσει με την πλευρά ΑΔ
(ii). η πλευρά ΒΓ κατέλθει προς την ΑΔ, παραμένοντας παράλληλη σ’ αυτήν, μέχρι να συμπέσει μ’ αυτήν.
Τότε τα σημεία τομής των δύο κινούμενων ευθυγράμμων τμημάτων ορίζουν τα σημεία της τετραγωνίζουσας καμπύλης.
Έστω Ε ένα σημείο του τεταρτοκυκλίου (ΑΕ =ΑΒ), Ζ το αντίστοιχο σημείο της τετραγωνίζουσας, όπως φαίνεται στο σχήμα, και Η η προβολή του Ζ στο ΑΔ.
Η βασική ιδιότητα της καμπύλης αυτής, που προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό της είναι ότι:
Αρχαίο κείμενο:
«Εις τον τετραγωνισμόν του κύκλου παρελήφθη τις υπό Δεινοστράτου και Νικομήους γραμμή και τινών άλλων νεωτέρων από του περί αυτήν συμπτώματος λαβούσα τούνομα, καλείται γάρ υπ’ αυτών τετραγωνίζουσα»
Ο Πάππος αναφέρει ότι την καμπύλη αυτή χρησιμοποίησαν ο Δεινόστρατος (390 – 320 π.Χ.) και αργότερα ο Νικομήδης (280 – 210 π.Χ.) για τον τετραγωνισμό του κύκλου, και από την ιδιότητα της αυτή πήρε το όνομα τετραγωνίζουσα.
Τότε θα υπάρχει ΑΘ ¹ ΑΚ για το οποίο να ισχύει:
Έστω ΑΘ >ΑΚ .
Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΘ φέρουμε το τεταρτοκύκλιο ΙΖΘ που τέμνει την τετραγωνίζουσα στο Ζ και την πλευρά ΑΒ στο Ι. Φέρουμε το ΑΖ και η προέκτασή του τέμνει το δοσμένο τεταρτοκύκλιο ΒΕΔ στο σημείο Ε. Τέλος φέρουμε από το Ζ κάθετη στην πλευρά ΑΔ και Η το σημείο τομής τους.
Από την υπόθεση:
Άρα ΑΒ = τόξο (ΙΖΘ)
Από την ιδιότητα της τετραγωνίζουσας όμως ισχύει:
Όμως δείξαμε ότι ΑΒ = τόξο(ΙΖΘ), άρα ισχύει ΖΗ = τόξο(ΖΘ) που είναι ΑΤΟΠΟ.
Έστω ΑΘ < ΑΚ
Από το Θ φέρουμε κάθετη στην ΑΔ που τέμνει την τετραγωνίζουσα στο Ζ. Φέρουμε το ΑΖ και η προέκτασή του τέμνει το δοσμένο τεταρτοκύκλιο ΒΕΔ στο σημείο Ε. Τέλος με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΘ φέρουμε το τεταρτοκύκλιο ΙΛΘ που τέμνει την ΑΖ στο Λ και την πλευρά ΑΒ στο Ι.
Από την υπόθεση:
Άρα ΑΒ = τόξο(ΙΛΘ)
Από την ιδιότητα της τετραγωνίζουσας όμως ισχύει:
Όμως ΑΒ = τόξο(ΙΛΘ), άρα ΖΘ = τόξο(ΛΘ) που είναι επίσης ΑΤΟΠΟ.
Συνεπώς δεν υπάρχει ΑΘ = ΑΚ για το οποίο να ισχύει:
Οπότε ισχύει:
Μέχρι εδώ είναι δυνατή η κατασκευή του μήκους (ΒΕΔ) άρα και του τετραπλάσιού του, που αποτελεί ολόκληρη την περιφέρεια του κύκλου. Αυτό όμως δεν αρκεί για την εύρεση του μήκους της πλευράς ενός τετραγώνου που θα είναι ισοεμβαδικό με τον δοσμένο κύκλο, δηλαδή για τον τετραγωνισμό του. Για να πραγματοποιηθεί αυτό είναι απαραίτητη η γνώση του εξής θεωρήματος:
«Το εμβαδόν κάθε κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου η μία κάθετη πλευρά είναι ίση με την ακτίνα του και η άλλη κάθετη πλευρά ίση με την περιφέρειά του.»
Με αυτό δεδομένο και αφού είναι εφικτή η κατασκευή της δεύτερης κάθετης πλευράς με τον προηγούμενο τρόπο, βρίσκεται ένα ισοεμβαδικό με τον κύκλο τρίγωνο του οποίου ο τετραγωνισμός είναι γνωστός.
9. ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Ο ΧΙΟΣ (470-410 π.Χ.)
Ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, που διακρίθηκε στην γεωμετρία και έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ, ήταν δηλαδή σχεδόν σύγχρονος του Σωκράτη. Θεωρείται ο κύριος εκπρόσωπος της Σχολής της Χίου. Το βασικό έργο ζωής του Ιπποκράτη του Χίου είναι ότι υπήρξε ο πρώτος στην Ιστορία της Επιστήμης που συνέγραψε μια συστηματικά οργανωμένη πραγματεία γεωμετρίας, τα «Στοιχεία» (δηλαδή τα θεμελιώδη θεωρήματα ή οι «δομικοί λίθοι» της μαθηματικής θεωρίας). Μόνο ένα, αλλά διάσημο, απόσπασμα των «Στοιχείων» του Ιπποκράτη διασώθηκε μέχρι τις ημέρες μας, ενσωματωμένο σε έργο του Σιμπλίκιου. Δύο άλλες συνεισφορές του Ιπποκράτη αξίζει να σημειωθούν. Ανακάλυψε μια (άγνωστη σε εμάς) μέθοδο χειρισμού του προβλήματος του «διπλασιασμού του κύβου», δηλαδή του προβλήματος της κατασκευής της κυβικής ρίζας του 2. Ο Ιπποκράτης επίσης επινόησε τη μέθοδο της μετατροπής ειδικότερων μαθηματικών προβλημάτων σε ένα γενικότερο πρόβλημα που είναι ευκολότερο να επιλυθεί. Η λύση στο γενικότερο πρόβλημα δίνει τότε αυτομάτως την λύση του αρχικού προβλήματος. Στο πεδίο της Αστρονομίας ο Ιπποκράτης προσπάθησε να εξηγήσει την εμφάνιση των κομητών και του Γαλαξία. Οι ιδέες του δεν έχουν μεταφερθεί ως την εποχή μας πολύ καθαρά, αλλά πιθανώς υπέθετε ότι αμφότερα ήταν οπτικές απάτες, το αποτέλεσμα της διαθλάσεως του ηλιακού φωτός από την υγρασία που ανέδινε ένας υποθετικός πλανήτης κοντά στον Ήλιο (στην πρώτη περίπτωση) και οι αστέρες (στην περίπτωση του Γαλαξία).
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΜΗΝΙΣΚΟΙ – ΣΧΟΛΙΑ ΣΙΜΠΛΙΚΙΟΥ ΕΙΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΟΥΣ ΦΥΣΙΚΑ»
Αρχαίο κείμενο:
«αρχήν μεν ούν εποιήσατο και πρώτον έθετο των προς αυτούς χρησίμων, ότι τον αυτόν λόγον έχει τα τα όμοια των κύκλων τμήματα προς άλληλα και αι βάσεις αυτών δυνάμει.»
Μετάφραση:
Άρχισε λοιπόν θέτοντας (ο Ιπποκράτης) ως πρώτο μεταξύ των θεωρημάτων που χρησιμεύουν για τον σκοπό του, ότι τα όμοια τμήματα των κύκλων έχουν μεταξύ τους τον ίδιο λόγο που έχουν τα τετράγωνα των βάσεών τους.
Α. Τμήματα κύκλου προκύπτουν από την τομή του κύκλου με μία μόνον γραμμή.
Β. Όμοια τμήματα κύκλου είναι αυτά των οποίων οι εξωτερικές επιφάνειες αντιστοιχούν σε ίσες μεταξύ τους γωνίες και το ίδιο συμβαίνει με τις εσωτερικές τους επιφάνειες.
«ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΜΗΝΙΣΚΩΝ – ΣΧΟΛΙΑ ΣΙΜΠΛΙΚΙΟΥ ΕΙΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΟΥΣ ΦΥΣΙΚΑ»
Α. Τετραγωνισμός μηνίσκων με εξωτερική περιφέρεια ίση με ημικύκλιο. (Συγκεκριμένα αυτούς που έχουν εσωτερική περιφέρεια ίση με τεταρτοκύκλιο.)
Αρχαίο κείμενο:
Απεδίδου δε τούτο περί τρίγωνον ορθογώνιον τε και ισοσκελές ημικύκλιον περιγράψας και περι την βάσιν τμήμα κύκλου τοις υπό των επιζευχθεισών αφαιρουμένοις όμοιν, (...) “όντος δε του περί την βάσιν τμήματος ίσου τους περί τας ετέρας αμφοτέροις” (...) “και κοινού προστεθέντος του μέρους του τριγώνου του υπέρ το τμήμα το περί την βάσιν, ίσος έσται ο μηνίσκος τω τριγώνω. Ίσος ούν ο μηνίσκος τω τριγώνω δείχθεις τετραγωνίζοιτο άν” (…) “ούτως μεν ούν ημικυκλίου την έξω του μηνίσκου περιφέρειαν υποθέμενος ετετραγώνισεν ο ιπποκράτης τον μηνίσκον ευκόλως.»
Μετάφραση:
Αυτό το πέτυχε περιγράφοντας ημικύκλιο γύρω από ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο και κατασκευάζοντας στην βάση ένα κυκλικό τμήμα όμοιο με αυτά που αποκόπτονται από τις κάθετες πλευρές. Επειδή το τμήμα στην βάση είναι ίσο με το άθροισμα των δύο άλλων τμημάτων στις δύο κάθετες πλευρές, αν προστεθεί και στα μέρος του τριγώνου που βρίσκεται πάνω από το τμήμα της βάσης, ο μηνίσκος θα είναι ίσος με το τρίγωνο και άρα τετραγωνίζεται. Υποθέτοντας λοιπόν την εξωτερική περιφέρεια του μηνίσκου ίση με ημικύκλιο, ο Ιπποκράτης τον τετραγώνισε εύκολα.
Β. Τετραγωνισμός μηνίσκων με εξωτερική επιφάνεια μεγαλύτερη από ημικύκλιο.
Αρχαίο κείμενο:
«Είτα εφεξής μείζονα ημικυκλίου υποτίθεται συστησάμενος τραπέζιον τας μέν τρεις έχον πλευράς ίσας αλλήλαις, την δε μίαν την μείζω των παραλλήλων τριπλασίαν εκείνων εκάστης δυνάμει, και το τε τραπέζιον περιλαβών κύκλω και περί την μεγίστην αυτού πλευράν όμοιον τμήμα περιγράψας τοις υπό των ίσων τριών αποτεμνομένοις από του κύκλου.”»
Μετάφραση:
Στην συνέχεια θέτει (την εξωτερική επιφάνεια) μεγαλύτερη του ημικυκλίου κατασκευάζοντας τραπέζιο με τρεις ίσες πλευρές και την άλλη, την μεγαλύτερη των παραλλήλων τριπλάσια από το τετράγωνο της κάθε μίας από αυτές. Και περιγράφεται στο τραπέζιο κύκλος και στην μεγαλύτερη πλευρά του περιγράφεται τμήμα όμοιο με το κάθε ένα από τα τμήματα των άλλων πλευρών.
Γ. Τετραγωνισμός μηνίσκων με εξωτερική επιφάνεια μικρότερη από ημικύκλιο.
Αρχαίο κείμενο:
«Ει δε ελάττων ημικυκλίου είη, προγράψας τοιόνε τι ο Ιπποκράτης τούτο κατασκεύασεν,
Έστω κύκλος ού διάμετρος εφ’ η ΑΒ, κέντρον δε αυτού εφ’ ώ Κ, και μέν εφ’ η ΓΔ δίχα τε και προς ορθάς τεμνέτω την εφ’ η ΒΚ, η δε εφ’ η ΕΖ κείσθω ταύτης μεταξύ και της περιφέρειας επί το Β νεύουσα των εκ του κέντρου ημιολία ούσα δυνάμει.»
Μετάφραση:
Ο Ιπποκράτης το έλυσε πρώτος και αυτό, κάνοντας πρώτα την εξής κατασκευή:
Έστω κύκλος με διάμετρο ΑΒ και κέντρο το Κ, και η μεν ΓΔ μεσοκάθετος της ΒΚ, η δε ΕΖ κατασκευάζεται έτσι ώστε:
1ον να έχει τα άκρα της πάνω στην ΓΔ και την περιφέρεια του κύκλου
2ον να «νεύει» προς το Β (η ΕΖ δηλαδή προεκτεινόμενη περνάει από το σημείο Β)
3ον να είναι το τετράγωνό της μιάμιση φορά το τετράγωνο της ακτίνας.
Αρχαίο κείμενο:
Τούτων ούτως εχόντων ο γενόμενος μηνίσκος ου εκτός περιφέρειας η ΕΚΒΗ ίσος έσται τω ευθυγράμμω τω συγκειμένω εκ των τριών τριγώνων των ΒΖΗ ΒΖΚ ΕΚΖ.
Μετάφραση:
Στην συνέχεια δείχνει ότι το τραπέζιο ΕΚΒΗ είναι εγγράψιμο σε κύκλο τον οποίο και περιγράφει και αφού περιγράψει κύκλο και γύρω από το τρίγωνο ΕΖΗ, δείχνει ότι ο μηνίσκος ΕΚΒΗΖ ισούται με το άθροισμα των τριγώνων ΒΖΗ, ΒΖΚ και ΕΚΖ.
Ο Σιμπλίκιος συνάγει μετά το πέρας της απόδειξης των τριών περιπτώσεων, το συμπέρασμα ότι ο Ιπποκράτης τετραγώνισε όλους τους μηνίσκους.
Αρχαίο κείμενο:
Ούτως μεν ούν ο Ιπποκράτης πάντα μηνίσκο ετετραγώνισεν, είπερ και τον ημικυκλίου και τον μείζονα ημικυκλίου και τον ελάττονα έχοντα την εκτός περιφέρειαν.
Δ. Τετραγωνισμός μηνίσκου με εξάγωνο.
Τέλος, παρουσιάζει άλλον ένα τετραγωνισμό, που αντλεί επίσης από τον Εύδημο, δείχνοντας ότι ο Ιπποκράτης δεν επιχείρησε να τετραγωνίσει τον κύκλο μέσω του Κ Β Ε Ζ Η εξαγώνου όπως είχε γράψει ο Αλέξανδρος ο Αφροδισεύς σε αντίστοιχο σχόλιο του, αλλά αντιθέτως τετραγώνισε (με την βοήθεια εξαγώνου) το άθροισμα ενός κύκλου και ενός μηνίσκου.
10. ΘΕΟΔΩΡΟΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ (465-398 π.Χ.)
Ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος. Ο Θεόδωρος ήταν από τους κύριους εκπροσώπους της Κυρηναϊκής σχολής της ηθικής φιλοσοφίας. Πίστευε ότι η ευχαρίστηση και ο πόνος δεν είναι ούτε καλό ούτε κακό. Επίσης ότι η ευθυμία και η φρόνηση είναι επαρκείς για την ευτυχία. Οι κύριες μελέτες του Θεόδωρου στα μαθηματικά, αφορούν την ασυμμετρία (αρρητότητα). Απο τον πλατωνικό διάλογο “Θεαίτητος” γνωρίζουμε ότι ο Θεόδωρος είχε αποδείξει την αρρητότητα των τετραγωνικών ριζών από 3 έως 17.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ (ΑΡΡΗΤΟΤΗΤΑ) ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ - ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ»
Αρχαίο κείμενο:
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: περὶ δυνάμεών τι ἡμῖν Θεόδωρος ὅδε ἔγραφε, τῆς τε τρίποδος πέρι καὶ πεντέποδος [ἀποφαίνων] ὅτι μήκει οὐ σύμμετροι τῇ ποδιαίᾳ, καὶ οὕτω κατὰ μίαν ἑκάστην προαιρούμενος μέχρι τῆς ἑπτακαιδεκάποδος: ἐν δὲ ταύτῃ πως ἐνέσχετο. ἡμῖν οὖν εἰσῆλθέ τι τοιοῦτον, ἐπειδὴ ἄπειροι τὸ πλῆθος αἱ δυνάμεις ἐφαίνοντο, πειραθῆναι συλλαβεῖν εἰς ἕν, ὅτῳ πάσας ταύτας προσαγορεύσομεν τὰς δυνάμεις.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: ἦ καὶ ηὕρετέ τι τοιοῦτον;
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: ἔμοιγε δοκοῦμεν: σκόπει δὲ καὶ σύ.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: λέγε.
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: τὸν ἀριθμὸν πάντα δίχα διελάβομεν: τὸν μὲν δυνάμενον ἴσον ἰσάκις γίγνεσθαι τῷ τετραγώνῳ τὸ σχῆμα ἀπεικάσαντες τετράγωνόν τε καὶ ἰσόπλευρον προσείπομεν.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: καὶ εὖ γε.
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: τὸν τοίνυν μεταξὺ τούτου, ὧν καὶ τὰ τρία καὶ τὰ πέντε καὶ πᾶς ὃς ἀδύνατος ἴσος ἰσάκις γενέσθαι, ἀλλ' ἢ πλείων ἐλαττονάκις ἢ ἐλάττων πλεονάκις γίγνεται, μείζων δὲ καὶ ἐλάττων ἀεὶ πλευρὰ αὐτὸν περιλαμβάνει, τῷ προμήκει αὖ σχήματι ἀπεικάσαντες προμήκη ἀριθμὸν ἐκαλέσαμεν.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: κάλλιστα. ἀλλὰ τί τὸ μετὰ τοῦτο;
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: ὅσαι μὲν γραμμαὶ τὸν ἰσόπλευρον καὶ ἐπίπεδον ἀριθμὸν τετραγωνίζουσι, μῆκος ὡρισάμεθα, ὅσαι δὲ τὸν ἑτερομήκη, δυνάμεις, ὡς μήκει μὲν οὐ συμμέτρους ἐκείναις, τοῖς δ' ἐπιπέδοις ἃ δύνανται. καὶ περὶ τὰ στερεὰ ἄλλο τοιοῦτον.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: ἄριστά γ' ἀνθρώπων, ὦ παῖδες: ὥστε μοι δοκεῖ ὁ Θεόδωρος οὐκ ἔνοχος τοῖς ψευδομαρτυρίοις ἔσεσθαι.
Μετάφραση:
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: Ο Θεόδωρος απ' εδώ μας εσχεδίασε γεωμετρικά σχήματα διά τας ρίζας των αριθμών καθώς την ρίζαν του αριθμού 3 και την ρίζαν του 5, και απεδείκνυε ότι δεν είναι σύμμετροι με την ρίζαν του 1. Και επροχώρησε κατ' αυτόν τον τρόπον εις την ρίζαν εκάστου αριθμού έως εις τον 17. Εις αυτήν όμως κάπως εσταμάτησε. Τότε λοιπόν ημείς εσκέφθημεν ότι πρέπει, αφού αι ρίζαι εφαίνοντο άπειροι κατά τον αριθμόν, να δοκιμάσωμεν να τας συμπεριλάβωμεν εις έν όνομα, με το οποίον να ονομάζωμεν όλας αυτάς τας δυνάμεις.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Αι λοιπόν ευρήκατε κανέν όνομα;
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: Νομίζω ότι ευρήκαμεν. Πρόσεξε όμως και συ.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Λέγε.
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: Διαιρέσαμεν εις δύο πάντα αριθμόν και όστις μεν είναι δυνατόν να δώση ίσα επί ίσα τον παρωμοιάσαμεν κατά τα σχήμα προς τετράγωνον και τον ωνομάσαμεν τετράγωνον και ισόπλευρον.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Πολύ καλά εκάματε.
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: Και λοιπόν τους διαμέσους αριθμούς καθώς είναι το 3 και το 5 και κάθε αριθμός, ο οποίος δεν είναι δυνατόν να δώση ίσα επί ίσα, αλλά δίδει ή περισσότερα επί ολιγώτερα ή ολιγώτερα επί περισσότερα και τον περιλαμβάνει μία πλευρά μεγαλητέρα και μία μικροτέρα, αυτόν πάλιν τον παρωμοιάσαμεν κατά το σχήμα με προμήκη και τον ωνομάσαμεν προμήκη αριθμόν.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Πολύ καλά. Αλλά κατόπιν τι εκάματε;
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: Όσαι μεν γραμμαί τετραγωνίζουν τον ισόπλευρον και ισόπεδον αριθμόντας ωνομάσαμεν μήκος, όσαι δε τετραγωνίζουν τον προμήκη αριθμόν, τας ωνομάσαμεν ρίζας, επειδή κατά το μήκος δεν είναι σύμμετροι με εκείνας τας γραμμάς, αλλά μόνον με τα εμβαδά, τα οποία σχηματίζουν. Το ίδιον εκάμαμεν και διά τα στερεά.
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Πολύ περίφημα εκάματε, παιδιά μου. Ώστε μου φαίνεται ότι ο Θεόδωρος δεν θα ενοχοποιηθή ως ψευδομάρτυς.
11. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒΔΗΡΙΤΗΣ (460-370 π.Χ.)
Ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος, ο οποίος γεννήθηκε στα Άβδηρα της Θράκης. Ήταν μαθητής του Λεύκιππου. Πίστευε ότι η ύλη αποτελείτο από αδιάσπαστα, αόρατα στοιχεία, τα άτομα. Επίσης ήταν ο πρώτος που αντιλήφθηκε ότι ο Γαλαξίας είναι το φως από μακρινά αστέρια. Ήταν ανάμεσα στους πρώτους που ανέφεραν ότι το σύμπαν έχει και άλλους "κόσμους" και μάλιστα ορισμένους κατοικημένους. Ο Δημόκριτος ξεκαθάριζε ότι το κενό δεν ταυτίζεται με το τίποτα ("μη ον"), είναι δηλαδή κάτι το υπαρκτό. Από τον τεράστιο όγκο των γραπτών του σώζονται ελάχιστα αποσπάσματα, κυρίως ηθικού περιεχομένου, τα οποία ανευρίσκονται σε μεταγενέστερους συγγραφείς ως παραθέματα ή παραφράσεις.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ – ΠΑΡΑΘΕΣΗ ΠΛΟΥΤΑΡΧΟΥ»
«Αν», είπε ο Δημόκριτος, «ένας κώνος τμηθεί σε παράλληλα με την βάση του επίπεδα (εννοώντας επίπεδες τομές απείρως κοντά στην βάση), τι θα πρέπει να σκεφτούμε για τις επιφάνειες των τομών αυτών; Είναι ίσες μεταξύ τους ή όχι; Διότι αν είναι άνισες τότε θα καταστήσουν τον κώνο ανώμαλο, με ανισότητες και οδοντώσεις σαν σκαλοπάτια. Εν είναι ίσες, δε, μεταξύ τους τότε ο κώνος φαίνεται να έχει την ιδιότητα του κυλίνδρου και να αποτελείται από ίσους και όχι άνισους κύκλους, πράγμα που είναι παράλογο.
12. ΕΥΔΟΞΟΣ Ο ΚΝΙΔΙΟΣ (408-355/3 π.Χ.)
Ήταν σπουδαίος μαθηματικός και γεωμέτρης που ασχολήθηκε με την αστρονομία. Γιος του Τελευταγόρα και ο αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη. Η Σχολή που ίδρυσε στον Κύζικο άκμασε για πολύ καιρό και τα γραπτά του χρησίμευσαν για πρωτότυπο στην συλλογή «Μικρή Αστρονομία», που παρουσίαζε σε γεωμετρική μορφή το σύνολο των θεωρημάτων που αναφέρονται στη σφαίρα και στην ημερήσια περιστροφή. Πρώτος αυτός υπολόγισε την απόσταση της Γης από την Σελήνη και τον Ήλιο, και το κυριότερο, συνέλαβε την πρώτη γεωμετρική θεωρία για την κίνηση των πλανητών (με ομόκεντρες σφαίρες που περιστρέφονται η μια μέσα στην άλλη).
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ»
Αρχαίο κείμενο:
Έστω πρότερον προς έλασσον το Σ.
και εγγεγράφθω εις το ΕΖΗΘ
κύκλον τετραγώνον το ΕΖΗΘ, το
δη εγγεγραμμένον τετράγωνον
μείζον έστιν ή το ήμισυ του ΕΖΗΘ κύκλου,
επειδήπερ εάν διά των Ε, Ζ, Η, Θ
σημείων εφαπτομένας [ευθείας]
του κύκλου αγάγωμεν,
του περιγραφομένου περί τον κύκλο
τετραγώνου ήμισυ έστίτο ΕΖΗΘ τετράγωνον,
του δέ περιγραφόντες τετραγώνου
ελάττων εστίν ο κύκλος,
ώστε το ΕΖΗΘ εγγεγρμμένον
τετράγωγωνον μείζον έστι του
ημίσεως του ΕΖΗΘ κύκλου.
Τετμήσθωσαν δίχα αί ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ
περιφέρειαι κατά τα Κ, Λ, Μ, Ν σημεία,
και πεζεύχθωσαν αί ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ,
και έκαστον άρα των ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ
τριγώνων μειζόν έστιν ή το ήμισυ του καθ’ εαυτό
τμήματος του κύκλου
επειδήπερ εάν διά των Κ, Λ, Μ, Ν
σημείων εφαπτομένας του κύκλου
αγάγωμεν και αναπληρώσωμεν τα
επί των ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ ευθειών
παραλληλόγραμμα
έκαστον των ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ,
ΘΝΕ τριγώνων ήμισυ έσται του
καθ’ εαυτό παραλληλογράμμου
αλλά το καθ’ εαυτό τμήμα ελαττόν
έστι του παραλληλογράμμου,
ώστε έκαστον των ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ
τριγώνων μείζον έστι του ημίσεως του
καθ’ εαυτό τμήματος του κύκλου.
Τέμνοντες δη τας υπολειπομένας
περιφερείας δίχα και επιζευγνύντες
ευθείας και τούτο αεί ποιούντες
καταλείψομεν τινά αποτμήματα
του κύκλου, α έσται ελάσσονα
της υπεροχής, ή υπερέχει ο ΕΖΗΘ
κύκλος του Σ χωρίου.
Εδείχθη γάρ εν τω πρώτω
θεωρήματι του δεκάτου βιβλίου,
ότι δύο μεγεθών ανίσων
εκκειμένων, εάν από του μείζονος
αφαιρεθή μείζον ή το ήμισυ και
του καταλειπομένου μείζον ή το
ήμισυ, και τούτο αεί γίγνηται,
λειφθήσεται τι μέγεθος, ο έσται
έλασσον του εκκειμένου
ελάσσονος μεγέθους
λελείφθω ούν, και έστω τα επί των
ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ
τμήματα του ΕΖΗΘ κύκλου
ελάττονα της υπεροχής, ή παρέχει
ο ΕΖΗΘ κύκλος του Σ χωρίου.
Λοιπόν άρα το ΕΚΖΛΗΜΘΝ
Πολύγωνον μείζον έστι του Σ χωρίου.
Μετάφραση:
Έστω ποσότητα Σ μικρότερη από τον κύκλο. Ας εγγραφεί στον κύκλο ΕΖΗΘ τετράγωνο ΕΖΗΘ. Τότε το εγγεγραμμένο τετράγωνο είναι μεγαλύτερο του μισού του κύκλου.
Επειδή αν αχθούν εφαπτόμενες ευθείες στα σημεία Ε, Ζ, Η και Θ, το τετράγωνο ΕΖΗΘ θα είναι το μισό του περιγεγραμμένου τετραγώνου, ο δε κύκλος είναι μικρότερος του περιγεγραμμένου τετραγώνου, οπότε το ΕΖΗΘ είναι μεγαλύτερο του μισού του κύκλου.
Ας διχοτομηθούν τα τόξα ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ και ΘΕ στα σημεία Κ, Λ, Μ και Ν και ας αχθούν τα ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ και ΝΕ.
Τότε καθένα από τα τρίγωνα ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ και ΘΝΕ, είναι μεγαλύτερο από το μισό των αντίστοιχου κυκλικών τμημάτων (ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ και ΘΝΕ) του κύκλου.
Επειδή αν φέρουμε εφαπτόμενες στα σημεία Κ, Λ, Μ και Ν και σχηματίσουμε τα παραλληλόγραμμα στα ευθύγραμμα τμήματα ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ και ΘΕ τότε καθένα από τα τρίγωνα ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ και ΘΝΕ είναι το μισό του αντίστοιχου 
παραλληλογράμμου. Το δε κυκλικό τμήμα είναι μικρότερος του παραλληλογράμμου, Και άρα το καθένα από τα τρίγωνα ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ και ΘΝΕ, είναι μεγαλύτεροαπό το μισό των αντίστοιχου κυκλικών τμημάτων του κύκλου.
Εγγράφοντας δε κανονικό πολύγωνο με διπλάσιες το πλήθος πλευρές στον κύκλο, και 
κάνοντάς το αυτό συνεχώς, θα αφήσουμε τμήματα που συνολικά θα αποτελούν χωρίο μικρότερο της υπεροχής του κύκλου ΕΖΗΘ από το χωρίο Σ. Αφού έχει αποδειχθεί στο πρώτο θεώρημα του δέκατου βιβλίου, ότι δεδομένων δύο άνισων μεγεθών, αν από το μεγαλύτερο αφαιρεθεί τμήμα μεγαλύτερο του μισού και από αυτό που υπολείπεται αφαιρεθεί μεγαλύτερο από το μισό του και αυτό γίνεται συνεχώς, λαμβάνεται μέγεθος μικρότερο του μικρότερου από τα δύο δοσμένα.
Ας υποθέσουμε ότι τα κυκλικά τμήματα επί των EK, KZ, ZΛ, ΛH, ΗΜ, MΘ, ΘΝ, NΕ και NE είναι μικρότερα από την υπεροχή του κύκλου από το χωρίο Σ.
Τότε το ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνο είναι μεγαλύτερο από το χωρίο Σ.
«ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΜΕΓΕΘΩΝ – 5ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ (ΑΠΟΔΙΔΕΤΑΙ ΕΙΣ ΕΥΔΟΞΟ)»
Αρχαίο κείμενο:
Ανωνύμου σχόλιον:
«Τοῦτο τό βιβλίον Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου τοῦ μαθηματικοῦ τοῦ κατά τούς Πλάτωνος χρόνους γεγονότος εἶναι λέγεται, ἐπιγέγραπται δ' ὃμως Εὐκλείδου, ἀλλ' οὐ κατά τινα ψευδῆ ἐπιγραφήν»
Μετάφραση:
Αωνύμου σχόλιον:
(Τούτο το βιβλίον — δηλαδή το 5ον — κατά την παράδοσιν είναι έργον του Ευδόξου του Κνιδίου, του μαθηματικού, όστις έζησε κατά τους χρόνους του Πλάτωνος. Η επιγραφή όμως το αποδίδει εις τον Ευκλείδη και δεν πρόκειται περί ψευδούς τιτλοφορήσεως.)
Αρχαίο κείμενο:
3η Θεωρία αναλογιών – Ορισμοί:
Α. Μέρος εστί μέγεθος μεγέθους το έλασσον του μείζονος, όταν καταμετρήται το μείζον.
Β. Πολλαπλάσιον δε το μείζον του ελάττονος, όταν καταμετρήται υπό του ελάττονος.
Γ. Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών ή κατα πηλικότητα ποια σχέσις.
Δ. Λόγον έχειν προς άλληλα μεγέθη λέγεται, α δύναται πολλαπλασιαζόμενα αλλήλων υπερέχειν.
Ε. Εν τω αυτώ λόγω μεγέθη λέγεται ε ναι πρώτον προς δεύτερον και τρίτον προς τέτερτον, όταν τα του πρώτου και τρίτου ισάκις πολλαπλάσια των του δευτέρου και τετέρτου ισάκις πολλαπλασίων καθ’ οποιονούν πολλαπλασιασμόν εκάτερον εκατέρου η άμα υπερέχη η άμαίσα ή η άμα ελλείπη ληφθέντα κατάλληλα.
Μετάφραση:
3η Θεωρία αναλογιών – Ορισμοί:
Α. Δοθέντων δύο ομοειδών μεγεθών υπάρχει πάντοτε πολλαπλάσιον του μικρότερου υπερβαίνον το μεγαλύτερον.
Β. Υπάρχει δε πάντοτε πολλαπλάσιον του μεγαλύτερου μη υπερβαίνον το μικρότερο.
Γ. Λόγος είναι μία σχέσις οποιαδήποτε δύο ομογενών μεγεθών από της απόψεως του μεγέθους των.
Δ. Λέγομεν ότι έχουν λόγον προς άλληλα δύο μεγέθη, όταν κατόπιν πολλαπλασιασμού παρουσιάση το εν εν συγκρίσει προς το άλλο υπεροχήν.
Ε. Εις τον αυτόν λόγον λέγονται ότι είναι μεγέθη τινά, το πρώτον προς το δεύτερον και το τρίτον προς το τέταρτον, όταν τα εξ ίσου πολλαπλάσια του πρώτου και του τρίτου εν συγκρίσει προς τα εξ ίσου πολλαπλάσια του δευτέρου και του τετάρτου, το καθένα εκ των δύο ξεχωριστά συγκρινομένον προς το άλλο, εις οιονδήποτε πολλαπλασιασμόν, παρουσιάζουν λαμβανόμενα κατά την αρμόζουσαν εις αυτά τάξιν, ή συγχρόνως υπεροχήν, ή συγχρόνως ισότητα η συγχρόνως έλλειψιν.
(Για δύο ζεύγη ομοειδών μεγεθών Α,Β και Γ,∆ , Α/Β=Γ/∆ μόνο αν για οιουσδήποτε δύο φυσικούς αριθμούς μ,ν ισχύει μία των παρακάτω τριών σχέσεων׃)
1) μΑ>νΒ και συγχρόνως μΓ>ν∆
2) μΑ=νΒ και συγχρόνως μΓ=ν∆
3) μΑ=vΒ συγχρόνως μΓ<ν∆
13. ΦΑΙΔΡΟΣ Ο ΜΥΡΡΙΝΟΥΣΙΟΣ (4ος αιώνας π.Χ.)
Υπήρξε μαθητής του Σωκράτη στην αρχαία Αθήνα που έμεινε όμως περισσότερο γνωστός από τους Πλατωνικούς φιλοσοφικούς διαλόγους. Ακόμη είναι γνωστός και από τους λίγους μεν, αλλά θερμούς λόγους του Λυσία του οποίου υπήρξε επίσης μαθητής.
14. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ (384-322 π.Χ.)
Ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και πολυεπιστήμονας. Σε ηλικία 17 ετών εισέρχεται στην Ακαδημία του Πλάτωνα, στην Αθήνα, όπου παραμένει έως τα 37 του έτη. Εκεί συνδέεται τόσο με τον ίδιο τον Πλάτωνα όσο και με τον Εύδοξο, τον Ξενοκράτη και άλλους στοχαστές. Τα έργα του αναφέρονται σε πολλές επιστήμες, όπως φυσική, βιολογία, ζωολογία, μεταφυσική, λογική, ηθική, ποίηση, θέατρο, μουσική, ρητορική, πολιτική κ.ά, και συνιστούν το πρώτο ολοκληρωμένο σύστημα στην Δυτική Φιλοσοφία. Η σκέψη και οι διδασκαλίες του Αριστοτέλη, που συνοπτικά περιγράφονται με τον όρο Αριστοτελισμός, επηρέασαν για αιώνες την φιλοσοφική, θεολογική και επιστημονική σκέψη έως και τον ύστερο Μεσαίωνα.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΘΕΣΙΣ, ΑΞΙΩΜΑ, ΟΡΙΣΜΟΣ, ΥΠΟΘΕΣΙΣ – ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΟΥΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΥΣΤΕΡΑ»
Αρχαίο κείμενο:
Ἀμέσου δ' ἀρχῆς συλλογιστικῆς θέσιν μὲν λέγω
ἣν μὴ ἔστι δεῖξαι, μηδ' ἀνάγκη ἔχειν τὸν μαθησόμενόν τι·
ἣν δ' ἀνάγκη ἔχειν τὸν ὁτιοῦν μαθησόμενον, ἀξίωμα·
ἔστι γὰρ ἔνια τοιαῦτα· τοῦτο γὰρ μάλιστ'
ἐπὶ τοῖς τοιούτοις εἰώθαμεν ὄνομα λέγειν.
θέσεως δ' ἡ μὲν ὁποτερονοῦν τῶν μορίων
τῆς ἀντιφάσεως λαμβάνουσα οἷον λέγω
τὸ εἶναί τι ἢ τὸ μὴ εἶναί τι, ὑπόθεσις,
ἡ δ' ἄνευ τούτου ὁρισμός. ὁ γὰρ ὁρισμὸς θέσις μέν ἐστι·
τίθεται γὰρ ὁ ἀριθμητικὸς μονάδα τὸ
ἀδιαίρετον εἶναι κατὰ τὸ ποσόν· ὑπόθεσις δ' οὐκ ἔστι·
τὸ γὰρ τί ἐστι μονὰς καὶ τὸ εἶναι μονάδα οὐ ταὐτόν.
…………………………………………………………………………………
Λέγω δ' ἀρχὰς ἐν ἑκάστῳ γένει ταύτας ἃς ὅτι ἔστι
μὴ ἐνδέχεται δεῖξαι. τί μὲν οὖν σημαίνει καὶ τὰ
πρῶτα καὶ τὰ ἐκ τούτων, λαμβάνεται, ὅτι δ' ἔστι,
τὰς μὲν ἀρχὰς ἀνάγκη λαμβάνειν, τὰ δ' ἄλλα δεικνύναι·
οἷον τί μονὰς ἢ τί τὸ εὐθὺ καὶ τρίγωνον, εἶναι δὲ
τὴν μονάδα λαβεῖν καὶ μέγεθος, τὰ δ' ἕτερα δεικνύναι.
Ἔστι δ' ὧν χρῶνται ἐν ταῖς ἀποδεικτικαῖς
ἐπιστήμαις τὰ μὲν ἴδια ἑκάστης ἐπιστήμης τὰ δὲ
κοινά, κοινὰ δὲ κατ' ἀναλογίαν, ἐπεὶ χρήσιμόν
γε ὅσον ἐν τῷ ὑπὸ τὴν ἐπιστήμην γένει·
ἴδια μὲν οἷον γραμμὴν εἶναι τοιανδὶ καὶ τὸ εὐθύ,
κοινὰ δὲ οἷον τὸ ἴσα ἀπὸ ἴσων ἂν ἀφέλῃ, ὅτι ἴσα τὰ λοιπά.
ἱκανὸν δ' ἕκαστον τούτων ὅσον ἐν τῷ γένει·
ταὐτὸ γὰρ ποιήσει, κἂν μὴ κατὰ πάντων λάβῃ
ἀλλ' ἐπὶ μεγεθῶν μόνον, τῷ δ' ἀριθμητικῷ ἐπ' ἀριθμῶν.
Ἔστι δ' ἴδια μὲν καὶ ἃ λαμβάνεται εἶναι,
περὶ ἃ ἡ ἐπιστήμη θεωρεῖ τὰ ὑπάρχοντα καθ' αὑτά,
οἷον μονάδας ἡ ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρία σημεῖα
καὶ γραμμάς. ταῦτα γὰρ λαμβάνουσι τὸ εἶναι
καὶ τοδὶ εἶναι. τὰ δὲ τούτων πάθη καθ' αὑτά,
τί μὲν σημαίνει ἕκαστον, λαμβάνουσιν,
οἷον ἡ μὲν ἀριθμητικὴ τί περιττὸν ἢ ἄρτιον
ἢ τετράγωνον ἢ κύβος, ἡ δὲ γεωμετρία τί τὸ ἄλογον
ἢ τὸ κεκλάσθαι ἢ νεύειν, ὅτι δ' ἔστι,
δεικνύουσι διά τε τῶν κοινῶν καὶ ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων.
καὶ ἡ ἀστρολογία ὡσαύτως.
πᾶσα γὰρ ἀποδεικτικὴ ἐπιστήμη περὶ τρία ἐστίν,
ὅσα τε εἶναι τίθεται (ταῦτα δ' ἐστὶ τὸ γένος, οὗ
τῶν καθ' αὑτὰ παθημάτων ἐστὶ θεωρητική),
καὶ τὰ κοινὰ λεγόμενα ἀξιώματα, ἐξ ὧν πρώτων
ἀποδείκνυσι, καὶ τρίτον τὰ πάθη, ὧν τί σημαίνει
ἕκαστον λαμβάνει.
ἐνίας μέντοι ἐπιστήμας οὐδὲν κωλύει ἔνια
τούτων παρορᾶν, οἷον τὸ γένος μὴ ὑποτίθεσθαι εἶναι,
ἂν ᾖ φανερὸν ὅτι ἔστιν (οὐ γὰρ ὁμοίως δῆλον
ὅτι ἀριθμὸς ἔστι καὶ ὅτι ψυχρὸν καὶ θερμόν),
καὶ τὰ πάθη μὴ λαμβάνειν τί σημαίνει, ἂν ᾖ δῆλα·
ὥσπερ οὐδὲ τὰ κοινὰ οὐ λαμβάνει τί σημαίνειτὸ
ἴσα ἀπὸ ἴσων ἀφελεῖν, ὅτι γνώριμον.
ἀλλ' οὐδὲν ἧττον τῇ γε φύσει τρία ταῦτά ἐστι,
περὶ ὅ τε δείκνυσι καὶ ἃ δείκνυσι καὶ ἐξ ὧν.
Οὐκ ἔστι δ' ὑπόθεσις οὐδ' αἴτημα,
ὃ ἀνάγκη εἶναι δι' αὑτὸ καὶ δοκεῖν ἀνάγκη.
οὐ γὰρ πρὸς τὸν ἔξω λόγον ἡ ἀπόδειξις,
ἀλλὰ πρὸς τὸν ἐν τῇ ψυχῇ, ἐπεὶ οὐδὲ συλλογισμός.
ἀεὶ γὰρ ἔστιν ἐνστῆναι πρὸς τὸν ἔξω λόγον,
ἀλλὰ πρὸς τὸν ἔσω λόγον οὐκ ἀεί.
ὅσα μὲν οὖν δεικτὰ ὄντα λαμβάνει αὐτὸς μὴ δείξας,
ταῦτ', ἐὰν μὲν δοκοῦντα λαμβάνῃ τῷ μανθάνοντι,
ὑποτίθεται, καὶ ἔστιν οὐχ ἁπλῶς ὑπόθεσις
ἀλλὰ πρὸς ἐκεῖνον μόνον, ἂν δὲ ἢ μηδεμιᾶς
ἐνούσης δόξης ἢ καὶ ἐναντίας ἐνούσης
λαμβάνῃ τὸ αὐτό, αἰτεῖται.
καὶ τούτῳ διαφέρει ὑπόθεσις καὶ αἴτημα·
ἔστι γὰρ αἴτημα τὸ ὑπεναντίον τοῦ μανθάνοντος τῇ δόξῃ,
ἢ ὃ ἄν τις ἀποδεικτὸν ὂν λαμβάνῃ καὶ χρῆται μὴ δείξας.
Οἱ μὲν οὖν ὅροι οὐκ εἰσὶν ὑποθέσεις (οὐδὲν γὰρ
εἶναι ἢ μὴ λέγεται), ἀλλ' ἐν ταῖς προτάσεσιν αἱ
ὑποθέσεις, τοὺς δ' ὅρους μόνον ξυνίεσθαι δεῖ·
τοῦτο δ' οὐχ ὑπόθεσις (εἰ μὴ καὶ τὸ ἀκούειν
ὑπόθεσίν τις εἶναι φήσει), ἀλλ' ὅσων ὄντων
τῷ ἐκεῖνα εἶναι γίνεται τὸ συμπέρασμα.
(οὐδ' ὁ γεωμέτρης ψευδῆ ὑποτίθεται,
ὥσπερ τινὲς ἔφασαν, λέγοντες ὡς οὐ δεῖ
τῷ ψεύδει χρῆσθαι, τὸν δὲ γεωμέτρην ψεύδεσθαι
λέγοντα ποδιαίαν τὴν οὐ ποδιαίαν ἢ εὐθεῖαν
τὴν γεγραμμένην οὐκ εὐθεῖαν οὖσαν.
ὁ δὲ γεωμέτρης οὐδὲν συμπεραίνεται τῷ
τήνδε εἶναι γραμμὴν ἣν αὐτὸς ἔφθεγκται,
ἀλλὰ τὰ διὰ τούτων δηλούμενα.)
ἔτι τὸ αἴτημα καὶ ὑπόθεσις πᾶσα ἢ ὡς ὅλον
ἢ ὡς ἐν μέρει, οἱ δ' ὅροι οὐδέτερον τούτων.
Μετάφραση:
Ονομάζω θέση την άμεση εκείνη αρχή συλλογισμού που δεν μπορεί να αποδειχτεί ούτε είναι ανάγκη να την κατέχει κάποιος προκειμένου να μάθει κάτι. Αξίωμα [ονομάζω] εκείνη, αντιθέτως που είναι ανάγκη να την κατέχει κάποιος προκειμένου να μάθει οτιδήποτε. Υπάρχουν πράγματι ορισμένες αλήθειες αυτού του είδους και είναι σε αυτές κυρίως που συνηθίζουμε να αποδίδουμε την ονομασία αυτήν. Αν τώρα μια θέση σύγκειται αδιακρίτως από ένα από τα μέρη της εξαγγελίας, όπως για παράδειγμα όταν λέω ότι ένα πράγμα είναι ή ότι δεν είναι τότε πρόκειται για υπόθεση, αν όχι πρόκειται για ορισμό. Ο ορισμός είναι πράγματι ένα είδος θέσεως. Διότι ο αριθμητικός θεωρεί ως αδιαίρετη την μονάδα κατά την ποσότητα. Αυτό δεν είναι υπόθεση γιατί το τι είναι μονάδα και το να είναι κάτι ίσο με την μονάδα δεν είναι το ίδιο.[...]
[...]«Ονομάζω αρχές σε κάθε γένος εκείνες για τις οποίες το ότι υπάρχουν δεν μπορεί να αποδειχθεί. Το τι λοιπόν σημαίνουν οι όροι «πρώτες αρχές» καθώς και «οι ιδιότητες που απορρέουν από αυτές» θεωρείται ως δεδομένο. Ως προς το ότι όμως υπάρχουν, για μεν τις αρχές θεωρείται κατ’ ανάγκην δεδομένο, ενώ για τα άλλα θα πρέπει να αποδεικνύεται. Για παράδειγμα το τι είναι η μονάδα ή τι είναι ευθύ ή τρίγωνο, αυτά είναι δεδομένα. Και ενώ είναι δεδομένη η ύπαρξη της μονάδος και του μεγέθους, η ύπαρξη των υπολοίπων πρέπει να αποδεικνύεται. Από τις αρχές που χρησιμοποιούμε στις αποδεικτικές επιστήμες, άλλες ανήκουν αποκλειστικά σε κάθε επιστήμη και άλλες είναι κοινές. Και βέβαια πρέπει να χρησιμοποιούνται από κοινού, κατ’ αναλογία, επειδή χρησιμοποιούνται στο μέτρο που εμπίπτουν στο γένος που ανήκει η κάθε επιστήμη. Παράδειγμα αποκλειστικής αρχής είναι το τι η «γραμμή» και το «ευθύ» είναι και κοινή αρχή είναι ότι αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, τα υπολειπόμενα θα είναι ίσα. Από αυτές τις αρχές όμως ισχύει μόνο ένα μέρος κάθε φορά, όσο αρμόζει στο δεδομένο γένος. Ο γεωμέτρης την εφαρμόζει για τα μεγέθη, ο περί την αριθμητική στους αριθμούς. Επίσης είναι αποκλειστικά για κάθε επιστήμη και τα αντικείμενα που εκλαμβάνει ως υπαρκτά και αυτά τα οποία μελετά ως προς τις ιδιότητές τους, όπως για παράδειγμα οι μονάδες για την αριθμητική και οι γραμμές ή τα σημεία για την γεωμετρία. Πράγματι, για τα αντικείμενα αυτά είναι δεδομένο το ότι υπάρχουν καθώς και το ότι είναι συγκεκριμένα. Σε σχέση όμως με τις ιδιότητές τους μόνο το τι σημαίνει η καθεμιά ιδιότητα θεωρείται ως δεδομένο. Για παράδειγμα, θεωρείται ως δεδομένο από την αριθμητική το τι σημαίνει περιττός ή άρτιος ή τετράγωνο ή κύβος. Και για την γεωμετρία το τι είναι χωρίς λόγο ή τεθλασμένη ή η νεύσις. Το ότι αυτά υπάρχουν αποδεικνύεται μόνο μέσα από τις κοινές τους αρχές αλλά και από τα συμπεράσματά τους που έχουν ήδη αποδειχθεί. Το ίδιο ισχύει και για την αστρολογία. Κάθε λοιπόν αποδεικτική επιστήμη στρέφεται κυρίως γύρω από τρία πράγματα. Εκείνα που θεωρεί ότι υπάρχουν (αυτά είναι το γένος του οποίου εξετάζει τις καθ’ αυτές ιδιότητες), τα λεγόμενα κοινά αξιώματα με βάση τα οποία πραγματοποιείται η απόδειξη (ως πρώτα προκείμενα) και τρίτον τις ιδιότητες, για τις οποίες η επιστήμη θεωρεί ως δεδομένο το τι σημαίνουν.
Τίποτα ωστόσο δεν εμποδίζει τις επιστήμες να παραβλέπουν, ορισμένες από αυτές, τα τρία αυτά πράγματα. Για παράδειγμα, μπορεί να υποτεθεί ότι υπάρχει το γένος, αν είναι πρόδηλο και προφανές ότι υπάρχει (και δεν είναι το ίδιο προφανές ότι υπάρχει αριθμός με το ότι υπάρχει ψυχρό ή θερμό). Επίσης η επιστήμη μπορεί να μην αναφέρει ρητά για το τι σημαίνουν οι ιδιότητες, αν συμβαίνει να είναι προφανείς. Αυτό γίνεται στις κοινές αρχές, όπου γίνεται ρητή μνεία του τι σημαίνει να αφαιρεθούν από ίσα, επειδή αυτό είναι γνωστό.
Σε κάθε περίπτωση αυτές οι εξαιρέσεις δεν εμποδίζουν σε τίποτα να είναι τρία τα εκ φύσεως συστατικά μέρη της απόδειξης, δηλαδή:
το αντικείμενο της απόδειξης
οι προς απόδειξη ιδιότητες
οι αποδεικτικές αρχές
Δεν είναι εξάλλου ούτε υπόθεση, ούτε αίτημα αυτό που υπάρχει από μόνο του και αυτό που θεωρούμε ότι υπάρχει, επειδή η απόδειξη από μόνη της δεν απευθύνεται στον έξω λόγο, αλλά στο λόγο της ψυχής. Και είναι αληθές ότι μπορεί πάντα κάποιος να προβάλλει ενστάσεις στον εξωτερικό λόγο. Όχι όμως πάντα και στον εσωτερικό. Όσα λοιπόν είναι αποδείξιμα, τα θεωρεί ο δάσκαλος ως δεδομένα, χωρίς να τα αποδείξει, αν συμβεί να τα θεωρεί ως δεδομένα με την συναίνεση του μαθητή. Αποτελούν δε αντικείμενο υποθέσεως και είναι υπόθεση, όχι με την απόλυτη έννοια, αλλά αναφορικά μόνο με τον μαθητή. Αν πάλι συμβαίνει να θεωρεί το ίδιο πράγμα ως δεδομένο ή ο μαθητής δεν έχει καμία γνώμη ή έχει αντίθετη γνώμη σε αυτό, τότε πρόκειται για αίτημα. Και σε αυτό ακριβώς διαφέρουν η υπόθεση από το αίτημα. Δηλαδή το αίτημα είναι αντίθετο με την γνώμη του μαθητή, ή κάθε πρόταση αποδείξιμη, την οποία κάποιος την θεωρεί ως δεδομένη και τη χρησιμοποιεί χωρίς απόδειξη.
Οι όροι λοιπόν δεν είναι υποθέσεις, διότι δεν λένε τίποτα για το αν κάτι είναι ή δεν είναι, αλλά οι υποθέσεις είναι στις προτάσεις της κάθε επιστήμης που ανήκουν. Οι όροι πρέπει απλώς να γίνονται κατανοητοί. Αυτό όμως δεν συνιστά υπόθεση (εκτός αν κάποιος έλεγε ότι με το να ακούει κάτι, αυτό είναι υπόθεση). Αντίθετα, υποθέσεις είναι όλα εκείνα τα οποία με το να είναι όπως είναι, μπορεί να παράγεται το συμπέρασμα. Ούτε πρέπει να λέμε ότι κάνει ψευδείς δηλώσεις ο γεωμέτρης που υποστηρίζει ότι μια γραμμή έχει μήκος ένα πόδι, ενώ δεν έχει, ή ότι είναι ευθεία κάτι, ενώ δεν είναι. Ο γεωμέτρης δεν συμπεραίνει το παραμικρό από την συγκεκριμένη γραμμή που μνημονεύει, αλλά συμπεραίνει αποκλειστικά από όσα φανερώνουν τα σχήματά του. Εξάλλου, κάθε αίτημα και κάθε υπόθεση, νοούνται είτε ως όλον είτε ως μέρος. Ενώ οι ορισμοί δεν είναι ούτε το ένα ούτε το άλλο».
15. ΕΥΔΗΜΟΣ Ο ΡΟΔΙΟΣ (β’ μισό του 4ου αιώνα π.Χ.)
Ο πρώτος ιστορικός των μαθηματικών, υπήρξε ένας διακεκριμένος μαθητής του Αριστοτέλους, ο οποίος τον περιέβαλλε με μεγάλη εκτίμηση. Ο Εύδημος υπήρξε πολυγραφότατος. Έγραψε έργα στην ιστορία των επιστημών, καθώς και στις θετικές και θεωρητικές επιστήμες. Πολλοί σύγχρονοι ιστορικοί των επιστημών αποδίδουν στον Εύδημο διασκευές διαφόρων αριστοτελικών έργων. Είναι πιθανόν το έργο "Ευδήμια ηθικά" που αποδίδεται στον Αριστοτέλη, να είναι έργο του Ευδήμου και να αποτελεί περίληψη της διδασκαλίας περί ηθικής του Σταγειρίτη φιλοσόφου. Από το μεγάλο συγγραφικό έργο του Ευδήμου δεν έχει σωθεί σχεδόν τίποτε. Ευτυχώς ορισμένοι αρχαίοι συγγραφείς και σχολιαστές, Πρόκλος, Πάππος, Θέων ο Σμυρναίος, Σιμπλίκιος, Αιλιανός, Βοήθιος και Πορφύριος, διέσωσαν ορισμένα αποσπάσματα.
16. ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΟΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ (354-300 π.Χ.)
Ήταν αρχαίος φιλόσοφος από τον Τάραντα, μαθητής του Αριστοτέλη. Λέγεται ότι το έργο του περιελάμβανε 453 συγγράμματα, στο ύφος του Αριστοτέλη, όσον αφορά στο φιλοσοφικό, ηθικό και μουσικό τους περιεχόμενο. Η θεωρία που ανέπτυξε βασιζόταν στην ιδέα, ότι το σώμα και η ψυχή του ανθρώπου συνδέονται μεταξύ τους με τον ίδιο τρόπο όπως η αρμονία της μουσικής συνδέεται με τα μέλη του μουσικού οργάνου. Ο Αριστόξενος κατά τον Διογένη του Λαέρτιο (Βίοι Φιλοσόφων) που αναφέρεται σε μαρτυρία του Παρμενίδη που έχει χαθεί, ο Αριστόξενος είναι ο πρώτος που αντιλήφθηκε ότι ο πλανήτης Αφροδίτη είναι το ίδιο αστρονομικό σώμα που εμφανίζεται το πρωί πριν τον Ήλιο ή το βράδυ μετά την δύση του. "καθά φησιν Ἀριστόξενος ὁ μουσικός Ἕσπερον καὶ Φωσφόρον τὸν αὐτὸν εἰπεῖν, ὥς φησι Παρμενίδης".
17. ΔΙΚΑΙΑΡΧΟΣ (350-290 π.Χ.)
Ήταν Έλληνας φιλόσοφος, χαρτογράφος, γεωγράφος, μαθηματικός και συγγραφέας. Ο Δικαίαρχος ήταν μαθητής στο Λύκειον του Αριστοτέλους. Πολύ λίγα πράγματα από το έργο του έχουν διασωθεί. Έγραψε για την ιστορία και την γεωγραφία της Ελλάδος, και το πιο σημαντικό έργο του ήταν το "Βίος Ελλάδος". Έκανε σημαντικές συνεισφορές στον τομέα της χαρτογραφίας, όπου ήταν από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν γεωγραφικές συντεταγμένες. Επίσης έγραψε βιβλία για την φιλοσοφία και την πολιτική. Ο Δικαίαρχος εκτιμήθηκε ιδιαίτερα από τους αρχαίους ως φιλόσοφος και ως άνθρωπος που είχε εκτενείς γνώσεις σε μεγάλη ποικιλία τομέων. Το έργο του είναι γνωστό μόνο από τις πολλές αποσπασματικές αναφορές των μεταγενέστερων συγγραφέων.
18. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ (350-270 π.Χ.)
Ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.Χ. - 283 π.Χ.). Ο Ευκλείδης κατέχει μια κρίσιμη θέση στην ιστορία της Λογικής και των Μαθηματικών, καθώς είναι ο πρώτος που παράγει ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων (θεωρημάτων και πορισμάτων) με βάση ένα σύνολο ορισμών και 5 μόνο αρχικές αναπόδεικτες προτάσεις (αιτήματα). Κατ' αυτό το τρόπο περιέλαβε στο σύστημα αυτό και προτάσεις ήδη διατυπωμένες παλαιότερων σημαντικών μαθηματικών, όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Θεαίτητος, ο Λεωδάμαντας και ο Εύδοξος. Το πιο γνωστό έργο του είναι τα «Στοιχεία», που αποτελείται από 13 βιβλία. Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγράφεις τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ»
Αρχαίο κείμενο:
Ορισμός 15:
Κύκλος εστί σχήμα επίπεδον υπό μιας γραμμής
περιεχόμενον [η καλείται περιφέρεια], προς ην αφ’ ενός σημείου των εντός του σχήματος κειμένων πάσαι αι προσπίπτουσαι ευθείαι [προς την του κύκλου περιφέρειαν] ίσαι αλλήλαις εισίν.
Ορισμός 17
Διάμετρος δε του κύκλου εστίν ευθεία τις δια του κέντρου ηγμένη και παρατούμενη εφ’εκάτερα τα μέρη υπό της του κύκλου περιφέρειας, ήτις και δίχα τέμνει τον κύκλον.
Ορισμός 18
Ημικύκλιον δε έστι το περιεχόμενον σχήμα υπό τε της διαμέτρου και της απολαμβανομένης υπ’ αυτής περιφέρειας.
Κέντρον δε του ημικυκλίου το αυτό, ο και του κύκλου εστίν.
Μετάφραση:
Ορισμός 15:
Κύκλος (κυκλικός δίσκος) είναι το επίπεδο σχήμα που περιέχεται σε μία γραμμή [που καλείται περιφέρεια (κύκλος)], της οποίας τα σημεία ισαπέχουν από ένα σημείο στο εσωτερικό του κύκλου.
Ορισμός 17
Διάμετρος δε του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, τα άκρα του είναι στην περιφέρεια του κύκλου και διαιρεί τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη.
Ορισμός 18
Ημικύκλιο είναι το σχήμα που περιέχεται από την γραμμή που αποτελείται από την διάμετρο και το τόξο που αντιστοιχεί σε αυτήν. Κέντρο του ημικυκλίου είναι το κέντρο του κύκλου.
«ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ – ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ»
Αρχαίο κείμενο:
Τα 5 αιτήματα των Στοιχείων:
1. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
2. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
3. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
4. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
5. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
Μετάφραση:
Τα 5 αιτήματα των Στοιχείων:
1. Αιτούμαι ότι από κάθε σημείο προς κάθε σημείο μπορεί να αχθεί ευθεία.
2. Κάθε πεπερασμένη ευθεία μπορεί να επεκτείνεται συνεχώς ευθύγραμμα.
3. Με κάθε κέντρο και για κάθε διάστημα μπορούμε να γράφουμε κύκλο.
4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
5. Εάν η τέμνουσα δύο ευθειών τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες σχηματίζει με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε επεκτείνοντας τες επ’ άπειρον θα τέμνονται, από το μέρος που βρίσκονται οι δύο γωνίες αυτές.
Αρχαίο κείμενο:
Κοινές έννοιες (αξιώματα):
1. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
2. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
3. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
4. [Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.]
5. [Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
6. [Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
7. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
8. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
9. [Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.]
Μετάφραση:
Κοινές έννοιες (αξιώματα):
1. Όσα είναι ίσα στο ίδιο είναι και μεταξύ τους ίσα.
2. Αν προστεθεί το ίδιο σε ίσα, τα αθροίσματα θα είναι ίσα.
3. Αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, τα υπόλοιπα είναι ίσα.
4. Εάν σε άνισα προστεθούν ίσα, τα αθροίσματα θα είναι άνισα.
5. Του ίδιου ποσού τα διπλάσια είναι ίσα μεταξύ τους.
6. Του ίδιου ποσού τα μισά είναι ίσα μεταξύ τους.
7. Όσα εφαρμόζονται μεταξύ τους είναι ίσα
8. Το όλον είναι μεγαλύτερο του μέρους
9. Δύο ευθείες δεν περιέχουν χωρίο.
ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΗ ΕΠΟΧΗ: 3ος – 1ος αιώνας π.Χ.
19. ΑΡΑΤΟΣ Ο ΣΟΛΕΥΣ (313-240 π.Χ.)
Ήταν Αλεξανδρινός ποιητής πουκαταγόταν από τους Σόλους της Κιλικίας ή, σύμφωνα με άλλους από την Ταρσό αλλά μάλλον ότι εκεί έζησε για λίγο. Πατέρας του ήταν ο διαπρεπής τότε πολιτικός και στρατιωτικός Αθηνόδωρος. Ο Άρατος ασχολήθηκε και με τα μαθηματικά και με την αστρονομία. Στο επικό ποιήμα του με τίτλο «Φαινόμενα και Διοσημεία» περιγράφονται ποιητικά οι αστερισμοί και ουράνια φαινόμενα με κατεσπαρμένους στο έργο ύμνους, θρύλους και μύθους. Ο Άρατος έγραψε κι άλλα έργα όπως «Ύμνοι και παίγνια», «Συνθέσεις φαρμάκων», «Επικήδεια, επιστολές, επιγράμματα, ηθοποιίες» κ.α. καθώς και επιγράμματα απο τα οποία 2 αποδίδονται στον ίδιο και περιλαμβάνονται στην Παλατινή Ανθολογία.
20. ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ (310-230 π.Χ.)
Ήταν Έλληνας αστρονόμος και μαθηματικός, που γεννήθηκε στην Σάμο. Είναι ο πρώτος επιστήμων (μετά τους Πυθαγορείους) ο οποίος πρότεινε το ηλιοκεντρικό μοντέλο του Ηλιακού Συστήματος, θέτοντας τον Ήλιο και όχι την Γη, στο κέντρο του γνωστού Σύμπαντος.
21. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ (287-212 π.Χ.)
Ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, φυσικός, μηχανικός, εφευρέτης και αστρονόμος. Αν και λίγες λεπτομέρειες από την ζωή του είναι γνωστές, θεωρείται ένας από τους κορυφαίους επιστήμονες στην κλασική αρχαιότητα. Η παρακαταθήκη του στην φυσική είναι, μεταξύ άλλων, οι βάσεις της υδροστατικής, της στατικής και μια εξήγηση της αρχής του μοχλού. Ο Αρχιμήδης θεωρείται ότι είναι ο σπουδαιότερος από τους μαθηματικούς της αρχαιότητας και ένας από τους σπουδαιότερους όλων των εποχών. Χρησιμοποίησε την μέθοδο της εξάντλησης, για τον υπολογισμό της περιοχής, κάτω από το τόξο παραβολής, με την άθροιση άπειρης σειράς και έδωσε μια εξαιρετικά ακριβή προσέγγιση για τον αριθμό Π. Αντίθετα με τις εφευρέσεις του, τα μαθηματικά κείμενα του Αρχιμήδη ήταν ελάχιστα γνωστά στην αρχαιότητα. Τα σχετικά λιγοστά αντίγραφα των γραπτών εργασιών του Αρχιμήδη επιβίωσαν κατά τον Μεσαίωνα, και αποτέλεσαν μια πηγή επιρροής ιδεών για τους επιστήμονες κατά την διάρκεια της Αναγέννησης.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΚΥΚΛΟΥ ΜΕΤΡΗΣΙΣ – ΠΡΟΤΑΣΙΣ 1»
Αρχαίο κείμενο:
Πάς κύκλος ίσος εστί τριγώνω ορθογωνίο, ού η μέν εκ του κέντρου ίση μια των περί την ορθήν, η δε περίμετρος τη βάσει.
Εχέτω ο ΑΒΓΔ κύκλος τριγώνω τω Ε, ώς υπόκειται, λέγω, ότι ίσος εστίν.
Ει γάρ δυνατόν, έστω μέζων ο κύκλος, και εγγεγράφθω το ΑΓ τετράγωνον, και τετμήσθωσαν αι περιφέρειαι δίχα, και έστω τα τμήματα ήδη ελάσσονα της υπεροχής, ή υπερέχει ο κύκλος του τριγώνου, το ευθύγραμμον άρα έτι του τριγώνου εστί μείζον. Ειλήφθω κέντρον το Ν και κάθετος η ΝΞ, ελάσσων άρα η ΝΞ της του τριγώνου πλευράς. Έστιν δε και η περίμετρος του ευθυγράμμου της λοιπής ελάττων, επεί και της του κύκλου περιμέτρου, έλαττον άρα το ευθύγραμμον του Ε τριγώνου, όπερ άτοπον.
Έστω δε ο κύκλος, εί δυνατόν, ελάσσων του Ε τριγώνου, και περιγεγράφθω το τετράγωνον, και τετμήσθωσαν αι περιφέρειαι δίχα, και ήχθωσαν εφαπτόμεναι διλα των σημείων, ορθή άρα η υπό ΟΑΡ. Η ΟΡ άρα της ΜΡ έστιν μείζων, η γάρ ΡΜ τη ΡΑ ίση εστί, και το ΡΟΠ τρίγωνον άρα του ΟΖΑΜ σχήματος μείζον έστιν η το ήμισυ. Λελείφθωσαν οι τω ΠΖΑ τομεί όμοιοι ελάσσους της υπεροχής, ή υπερέχει το Ε του ΑΒΓΔ κύκλου, έτι άρα το περιγεγραμμένον ευθύγραμμον του Ε έστι έλασσον, όπερ άτοπον, έστιν γάρ μείζον, ότι η μέν ΝΑ ίση εστί τη καθέτω του τριγώνουμ η δέ περίμετρος μείζων εστί της βάσεως του τριγώνου. Ίσος άρα ο κύκλος τω Ε τριγώνω.
Μετάφραση:
«Το εμβαδόν κάθε κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου η μία κάθετη πλευρά είναι ίση με την ακτίνα του και η άλλη κάθετη πλευρά ίση με την περιφέρειά του.»
Έστω κύκλος ΑΒΓΔ και ορθογώνιο τρίγωνο εμβαδού Κ όπως περιγράφηκε στην πρόταση.
Έστω ότι ο κύκλος δεν είναι ισοεμβαδικός με το τρίγωνο. Τότε θα είναι είτε μεγαλύτερος είτε μικρότερος.
1. Έστω ότι ο κύκλος είναι μεγαλύτερος από Κ κατά εμβαδό δ.
Α) Εγγράφουμε στον κύκλο τετράγωνο ΑΒΓΔ, στην συνέχεια με διχοτόμηση των τόξων ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ εγγράφουμε οκτάγωνο και ούτω καθεξής, ωσότου τα κυκλικά τμήματα μεταξύ του εγγεγραμμένου πολυγώνου και του κύκλου να έχουν συνολικό εμβαδό μικρότερο του δ. Κατ’ αυτόν τον τρόπο θα υπάρξει εγγεγραμμένο πολύγωνο που θα έχει εμβαδό μεγαλύτερο από Κ.
(Ο Αρχιμήδης δεν αποδεικνύει ωστόσο την δυνατότητα μίας τέτοιας κατασκευής. Δεν αποδεικνύει δηλαδή, ότι δεδομένης μίας μικρότερης ποσότητας από τον κύκλο, μπορεί να κατασκευαστεί ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο στον κύκλο με εμβαδό μεγαλύτερό της.)
Β) Έστω ότι ΑΒ είναι μία από τις πλευρές του πολυγώνου αυτού και ότι ΟΝ η κάθετη σ’ αυτήν από το κέντρο του κύκλου Ο. Τότε όπως είναι προφανές η ΟΝ είναι μικρότερη της ακτίνας R και άρα μικρότερη από την μία κάθετη πλευρά του τριγώνου Κ. Επίσης η περίμετρος του πολυγώνου είναι μικρότερη από την περιφέρεια του κύκλου και άρα από την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου Κ. Οπότε το εμβαδόν του πολυγώνου είναι μικρότερο από Κ.
Αυτό όμως δεν μπορεί να ισχύει διότι υπάρχει πολύγωνο μεγαλύτερο του Κ και συνεπώς καταλήξαμε σε άτοπο. Άρα ο κύκλος δεν είναι μεγαλύτερος από Κ.
2. Έστω ότι ο κύκλος είναι μικρότερος από Κ κατά εμβαδό δ.
Α) Περιγράφουμε στον κύκλο τετράγωνο και στην συνέχεια με διχοτόμηση των αντίστοιχων τόξων περιγράφουμε οκτάγωνο και ούτω καθεξής, εωσότου τα κυκλικά τμήματα μεταξύ του περιγεγραμμένου πολυγώνου και του κύκλου να έχουν συνολικό εμβαδό μικρότερο του δ. Κατ’ αυτόν τον τρόπο θα υπάρξει περιγεγραμμένο πολύγωνο που θα έχει εμβαδό μικρότερο του Κ.
(Ο Αρχιμήδης στο σημείο αυτό παραθέτει απόδειξη για το ότι είναι δυνατόν να κατασκευαστεί τέτοιο πολύγωνο. Αποδεικνύει δηλαδή, ότι δεδομένης μίας μεγαλύτερης ποσότητας από τον κύκλο, μπορεί να κατασκευαστεί ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο στον κύκλο με εμβαδό μικρότερό της.)
Β) Έστω ότι ΒΓ είναι μία από τις πλευρές του πολυγώνου αυτού και ότι ΟΜ η κάθετη σ’ αυτήν από το κέντρο του κύκλου Ο. Όμως παρατηρούμε ότι η κάθετη από το κέντρο Ο προς κάθε πλευρά του πολυγώνου ισούται με την ακτίνα του κύκλου R, ενώ η περίμετρος του πολυγώνου είναι μεγαλύτερη από την περιφέρεια του κύκλου. Οπότε το εμβαδόν του πολυγώνου είναι μεγαλύτερο από Κ.
Αυτό όμως δεν μπορεί να ισχύει διότι αποδείξαμε ότι υπάρχει πολύγωνο μικρότερο του Κ και συνεπώς καταλήξαμε σε άτοπο. Άρα ο κύκλος δεν είναι μικρότερος από Κ. Οπότε και αποδείχθηκε ότι ο κύκλος είναι ίσος σε εμβαδό με το τρίγωνο Κ.
22. ΚΤΗΣΙΒΙΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΥΣ (285-222 π.Χ.)
Ήταν μεγάλος μαθηματικός, μηχανικός και εφευρέτης της αρχαίας Ελλάδας, λογιζόμενος κατά ιδιοφυΐα μετά τον Αρχιμήδη. Θεωρείται Πατέρας της Πνευματικής, δηλαδή της επιστήμης που ασχολείται με τον αέρα και τις χρήσεις του. Ήταν ιδρυτής της Αλεξανδρινής Σχολής των μηχανικών και μαθηματικών, του λεγομένου "Μουσείου Αλεξανδρείας". Τα έργα του αφορούσαν τους τομείς των Πνευματικών, των Υδραυλικών και της Στρατιωτικής μηχανικής. Το έργο του δεν διασώθηκε, αλλά αντλούμε τις πληροφορίες για αυτόν από τον Ρωμαίο συγγραφέα, αρχιτέκτονα και μηχανικό Βιτρούβιο, στο έργο του Περί Αρχιτεκτονικής, καθώς και από τους Φίλωνα τον Βυζάντιο και τον Αθήναιο που ομιλούν με θαυμασμό γι΄ αυτόν.
23. ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ (285-194 π.Χ.)
Ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, γεωγράφος, αστρονόμος, γεωδαίτης, ιστορικός και φιλόλογος. Θεωρείται ο πρώτος που υπολόγισε το μέγεθος της Γης και κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς. Ακόμα κατασκεύασε έναν χάρτη του κόσμου όπως τον θεωρούσε. Για τις θεωρίες του περί γεωγραφίας κατηγορήθηκε αργότερα από τον Στράβωνα, ότι δεν παρείχε τις αναγκαίες αποδείξεις. Από τα ποικίλα έργα του δεν σώθηκε κανένα εκτός από λίγους τίτλους, όπως «Χρονογραφίαι», «Γεωγραφικά», «Περί της Αρχαίας κωμωδίας», «Καταστερισμοί» και «Περί Μεσοτήτων».
24. ΠΟΣΕΙΔΩΝΙΟΣ Ο ΡΟΔΙΟΣ (135-51 π.Χ.)
Ήταν Έλληνας πολυμαθής Στωικός φιλόσοφος, αστρονόμος, γεωγράφος, πολιτικός, ιστορικός και δάσκαλος που γεννήθηκε στην Απάμεια της Συρίας. Τον θεωρούσαν τον πολυμαθέστερο άνθρωπο του κόσμου για την εποχή του. Τίποτα από το τεράστιο έργο του δεν έχει σωθεί ως ολότητα σήμερα, αλλά μόνο αποσπάσματα. Ο Ποσειδώνιος έγραψε έργα για την Φυσική, την Μετεωρολογία, την Φυσική Γεωγραφία, την Αστρονομία, την Αστρολογία και την μαντεία, την Σεισμολογία, την Γεωλογία και την Ορυκτολογία, την Υδρολογία, την Βοτανική, την Ηθική, την Λογική, τα Μαθηματικά, την Ιστορία, την Φυσική Ιστορία, την Ανθρωπολογία, και την Στρατηγική. Οι μελέτες του ήταν μεγάλες και σε βάθος διερευνήσεις των αντικειμένων τους, έστω και με κάποια λάθη.
ΕΛΛΗΝΟΡΩΜΑΙΚΗ ΕΠΟΧΗ: 1ος - 4ος αιώνας μ.Χ.
25. ΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΥΣ (10-75 μ.Χ.)
Ήταν Έλληνας μηχανικός και γεωμέτρης. Έζησε στην Αλεξανδρεια της Αιγύπτου περίπου τον 1ο π.Χ ή 1ο μ.Χ. αιώνα. Η πιο διάσημη εφεύρεση του είναι η αιολόσφαιρα ή ατμοστρόβιλος, η πρώτη ατμομηχανή στην ιστορία. Υπήρξε διευθυντής της περίφημης Ανώτατης Τεχνικής Σχολής της Αλεξάνδρειας, το πρώτο πολυτεχνείο που είχε ιδρυθεί στο Μουσείο για μηχανικούς. Λέγεται ότι ακολουθούσε την θεωρία των ατόμων και την Μηχανική Σύνταξη του Φίλωνα. Ιδέες του Κτησιβίου ήταν βάση για κάποια από τα έργα του. Στον Ήρωνα αποδίδονται οι εφευρέσεις πολλών ελεγκτικών μηχανισμών ανάδρασης που λειτουργούσαν με νερό, φωτιά και συμπιεσμένο αέρα σε διάφορους συνδυασμούς και η κατασκευή του πρώτου προγραμματιζόμενου αναλογικού υπολογιστή με ένα πολύπλοκο σύστημα γραναζωτών ατράκτων διάστικτων με καβίλιες και δεμένων με σχοινιά που στις άκρες τους είχαν βάρη (σακιά άμμου που άδειαζαν με την πάροδο του χρόνου) και χρησιμοποιείτο στην λειτουργία του αυτόματου θεάτρου του.
Ενδεικτικά αποσπάσματα έργων / Σωζόμενα:
«ΜΕΤΡΙΚΑ – ΒΙΒΛΙΟ 3 – ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΚΑΙ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ»
«Έχουμε την γνώμη ότι δεν θα ήταν περιττολογία αν προβούμε και σε διαιρέσεις των γεωμετρικών σχημάτων που μελετήσαμε μέχρι τώρα. Γιατί θεωρούμε ότι είναι όχι μόνο χρήσιμο αλλά και αναγκαίο να γνωρίζει κανείς να απονέμει ίσα μερίδια γης σε ισάξιους, ενώ στους έντιμους κατ’ αναλογίαν περισσότερα. Αφού και η ίδια η Φύση έχει διαιρέσει την Γη σε περιοχές διαφορετικής αξίας. Και αλήθεια, τα μεγάλα έθνη κατέχουν με την βία μεγάλη έκταση, ενώ τα μικρά μικρή έκταση. Ακόμα και κάθε πόλη έχει διαιρεθεί σε συνοικίες σύμφωνα με την αξία τους. Στους ηγεμόνες και σ’ αυτούς που μπορούν να διοικούν, δόθηκε ανάλογα περισσότερος τόπος, ενώ σε αυτούς που δεν μπορούν να διοικήσουν αφέθηκε λίγος τόπος. Στους μικρόψυχους συνοικίες, αγροτικές κατοικίες και τα παρόμοια, ωστόσο έχει εκ των προτέρων καθοριστεί η αναλογία των ευφοροτέρων προς τα πιο άγονα κτήματα. Αν όμως επιθυμούσε κάποιος να κάνει «αναδασμό» διατηρώντας την αναλογία, ώστε καθόλου να μην μεταβληθεί αυτή, τότε το μόνο που χρειάζεται είναι η Γεωμετρία. Αυτή εφαρμόζεται παντού, κατά τον ίδιο τρόπο και βρίσκει αξιόπιστα την αναλογία, ενώ η απόδειξη για αυτά είναι αναμφισβήτητη, πράγμα που καμία από τις άλλες τέχνες ή επιστήμες υπόσχεται».
Πρόβλημα 4
«Να αφαιρεθεί από το δοθέν τρίγωνο ΑΒΓ, το δοθέν κατά μέγεθος τρίγωνο ∆ΕΖ, ώστε τα απομένοντα τρίγωνα Α∆Ε, Β∆Ζ και ΓΕΖ να είναι ίσα μεταξύ τους» και εννοεί να είναι ισεμβαδικά τα τρίγωνα Α∆Ε, Β∆Ζ και ΓΕΖ.
Αν λάβουμε σημεία ∆, Ζ, Ε επί των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ
αντίστοιχα, έτσι ώστε να ισχύουν οι αναλογίες:
τότε τα τρίγωνα Α∆Ε, Β∆Ζ και ΖΓΕ θα είναι ισεμβαδικά.
Εδώ δίνεται μια ικανή και αναγκαία συνθήκη που σύμφωνα με τον Χ.Κηπουρό δεν είναι «ξεκρέμαστη», αλλά για κάποιο λόγο ο Ήρων παρέλειψε να δώσει και την απόδειξη της ισότητας αυτών των λόγων.
Στην συνέχεια φέρνουμε την ΑΖ.
Επειδή:
και τότε:
αφού τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΖΓ είναι ισοϋψή, καθώς επίσης και τα τρίγωνα ΑΖΓ και ΑΖΕ ισοϋψή.
Επομένως:
γνωστό, αφού τα ΑΒΓ και ∆ΕΖ δεδομένα και τότε και το:
Φέρουμε ΑΗ _ ΒΓ τότε ΑΒΖ . ΑΖΓ = γνωστό
γνωστό, <=> AH × BZ . ZΓ = 2 γνωστό, <=> BZ . ZΓ = γνωστό, αφού ΑΗ υπολογίζεται εύκολα. Όμως αφού ΒΓ δεδομένη, τότε και η θέση του Ζ θα είναι δεδομένη. Και αυτό γιατί είναι ΒΖ+ΖΓ=ΒΓ δεδομένο και σταθερό, επίσης BZ × ZΓ = γνωστό και τότε τα ΒΖ, ΖΓ υπολογίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης:
Βάζοντας τα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος, γίνεται: 2 x -14 46 0 x + = και ο Ήρων δίνει τη λύση της κατευθείαν χωρίς να παρουσιάζει τη διαδικασία επίλυσής της όπως σε κάποια προβλήματα που συναντάμε στα «Γεωμετρικά». Η παραπάνω εξίσωση προκύπτει από την κατασκευή ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση την ΒΓ και ύψος x, του οποίου το BZ × ZΓ υπολείπεται κατά ένα τετράγωνο δηλαδή 2 BΓ × = BΔ × ΔΓ + x2 . Αφού ορίζεται η θέση του Ζ επί της ΒΓ τότε ορίζεται και ο λόγος
και τότε αφού:
γνωστός, όμως η ΑΓ δεδομένη και τότε ορίζεται η θέση του Ε επί της ΑΓ. Όμοια ορίζεται και το ∆ επί της ΑΒ και επομένως τα μήκη ∆Ε, ΕΖ, Ζ∆ είναι γνωστά κατά θέση. Από την πρόταση – Πρόβλημα 4, υποδηλώνεται το παρακάτω λήμμα:
26. ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥΔΙΟΣ (90-168 μ.Χ.)
Ήταν ονομαστός Έλληνας φυσικός φιλόσοφος ο οποίος γεννήθηκε στην ρωμαϊκή Αίγυπτο και έζησε στην Αλεξάνδρεια. Το σπουδαιότερο έργο του, «Η Μεγίστη» (ή Μαθηματική Σύνταξις), σώθηκε στα αραβικά ως Αλμαγέστη και στηρίζεται στις παρατηρήσεις διάφορων προγενέστερων αστρονόμων και ιδίως του Ιππάρχου. Στο έργο του συνόψισε και παρουσίασε συστηματικά τα επιτεύγματα των προγενέστερων στους διάφορους τομείς της επιστήμης, ελέγχοντας μεθόδους και μετρήσεις και προσθέτοντας δικά του συμπεράσματα. Επίσης ο Πτολεμαίος ασχολήθηκε με την μουσική, την οπτική, την μαντική αστρολογία και την γεωγραφία.
27. ΑΘΗΝΑΙΟΣ Ο ΝΑΥΚΡΑΤΙΤΗΣ (τέλη 2ου – αρχές 3ου αιώνας μ.Χ.)
Ήταν αρχαίος Έλληνας βιολόγος, φυτολόγος, ζωολόγος, γαστρονόμος, διαιτολόγος, μαθηματικός, ρήτορας και γραμματικός από την Ναυκράτιδα της Αιγύπτου. Έζησε στην Αλεξάνδρεια και αργότερα στην Ρώμη. Κυριότερο έργο του ήταν το τριαντάτομο Δειπνοσοφισταί, από το οποίο σώζεται μόνο η "Σύνοψις" σε 15 βιβλία, και αυτά αποσπασματικά. Το έργο του Αθήναιου είναι μια πηγή πληροφοριών για πλήθος χαμένων αρχαιοτέρων συγγραμμάτων. Άλλα έργα του, τα οποία δεν σώζονται, ήταν τα «Περί των εν Συρία βασιλευσάντων» και «Περί του θαλασσίου ιχθύος Θράττης».
28. ΘΕΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΥΣ (335-405 μ.Χ.)
Ήταν ένας από τους τελευταίους μαθηματικούς, αστρονόμους και γραμματικούς της Ελληνιστικής Περιόδου, από την Αλεξάνδρεια. Ο Θέων υπήρξε ο τελευταίος διευθυντής της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας πριν την καταστροφή της, καθώς και του «Μουσείου» της. Το κορυφαίο επίτευγμα του Θέωνος μάλλον αποδείχθηκε η έκδοση από αυτόν των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, περί το 364, από την οποία η ανθρωπότητα διδασκόταν Γεωμετρία επί 15 αιώνες. Ακόμα, ο Θέων συνέγραψε Αριθμητική και έγραψε ακόμα για τα «σημεία και εξετάσεις» των πτηνών, για την ανατολή του Σειρίου και για τις πλημμύρες του Νείλου. Ωστόσο, ο κύριος όγκος της συνεισφοράς του Θέωνος αποτελείται από σχόλια πάνω σε σημαντικά έργα των συγγραφέων των ελληνιστικών χρόνων. Σήμερα σώζεται το πρώτο βιβλίο από τα σχόλια στον Πτολεμαίο και αποσπάσματα από τα άλλα.
29. ΥΠΑΤΙΑ (370-415 μ.Χ.)
Ηταν Ελληνίδα νεοπλατωνική φιλόσοφος, αστρονόμος και μαθηματικός, διευθύντρια της νεοπλατωνικής σχολής στην Αλεξάνδρεια. Πατέρας της ήταν ο μαθηματικός και αστρονόμος, Θέων, που δεν περιόρισε ποτέ την όρεξή της για μάθηση. Η Υπατία σπούδασε στην Αθήνα και επέστρεψε στην Αλεξάνδρεια, όπου δίδαξε φιλοσοφία στους νέους της πόλης. Ανάμεσα στους μαθητές της ήταν οι γόνοι των ισχυρότερων οικογενειών της Αλεξάνδρειας, που αργότερα ανέλαβαν εξαιρετικά υψηλά αξιώματα. Σύμφωνα με το λεξικό του Σούδα ή Σουίδα (βυζαντινή εγκυκλοπαίδεια), η Υπατία έγραψε σχόλια στην «Αριθμητική»του Διόφαντου του Αλεξανδρέως, στα «Κωνικά»του Απολλώνιου από την Πέργη, και στον αστρονομικό κανόνα του Πτολεμαίου (Αλμαγέστη). Αυτά τα έργα της χάθηκαν, αλλά οι τίτλοι τους, σε συνδυασμό με τις επιστολές του Συνέσιου, ο οποίος την συμβουλευόταν για την κατασκευή του Αστρολάβου, δείχνουν ότι είχε αφιερωθεί ιδιαίτερα στην αστρονομία και τα μαθηματικά. Η ύπαρξη αυστηρά φιλοσοφικών έργων της μας είναι άγνωστη.
****************
Πηγές:
https://el.wikipedia.org
http://www.biblionet.gr
http://www.evprattein.gr
http://www.iefimerida.gr
http://users.math.uoc.gr
http://sainia.gr/2012-09-10-14-03-25/2012-02-20-18-01-06/mathimatika/1180-pollaplasiasmos-fysikon-kai-dekadikon-arithmon
http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-B105/386/2552,9976/
https://el.wikisource.org/wiki/Θεαίτητος#p152c
http://www.archive.org/stream/pgcommunitytexts35020gut/35020-0.txt
https://grmath.blogspot.gr/2011/07/blog-post_2949.html
http://2lyk-kamat.att.sch.gr/files/alyk/dipl_lykeridis_eap.pdf
http://62gym-athin.att.sch.gr/geo_c_k1/1_3.pdf
http://www.askisopolis.gr/upload/1_3189ANALOGIES.pdf
http://revealedtheninthwave.blogspot.gr/2013/08/blog-post_3242.html
https://hk.thenewslens.com/article/49556
http://www.inpersephonesgarden.com/the-secrets-of-antikythera/
http://camimilad.blogspot.gr/2013_01_01_archive.html